Giải Toán 12 trang 25 Tập 1 Kết nối tri thức

Lời giải:

Bài 1.17 trang 25 Toán 12 Tập 1: Đường thẳng $x=1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$ không?

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(x+3\right)=4$

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(x+3\right)=4$

Do đó, đường thẳng $x=1$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$.

Bài 1.18 trang 25 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Vì$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$;

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$

Do đó, đường thẳng $y=\frac{-1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3-x}{2x+1}$.

Vì $\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-}}{lim}y=\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-}}{lim}\frac{3-x}{2x+1}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{+}}{lim}y=\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{+}}{lim}\frac{3-x}{2x+1}=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đường thẳng $x=\frac{-1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3-x}{2x+1}$.

b) Vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+x-1}{x+2}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x\frac{\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(1+\frac{2}{x}\right)}\right]=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+x-1}{x+2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x\frac{\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(1+\frac{2}{x}\right)}\right]=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ không có tiệm cận ngang.

Vì $\underset{x\to -2^{-}}{lim}y=\underset{x\to -2^{-}}{lim}\frac{2x^2+x-1}{x+2}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to -2^{+}}{lim}y=\underset{x\to -2^{+}}{lim}\frac{2x^2+x-1}{x+2}=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ có tiệm cận đứng là $x=-2$

Ta có: $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{x+2}=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{x+2}=0$

Do đó, đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ có tiệm cận xiên là: $y=2x-3$.

Bài 1.19 trang 25 Toán 12 Tập 1: Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là $C\left(x\right)=2x+50$ (triệu đồng). Khi đó, $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=2$. Tính chất này nói lên điều gì?

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+50}{x}$

Vì $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-50}{x^2}<0$ với mọi số thực x nên hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ giảm.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+50}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+\frac{50}{x}}{1}=2$ (đpcm)

Tính chất này nói lên: Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới 2.

Bài 1.20 trang 25 Toán 12 Tập 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144m^2$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).

a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x).

Lời giải:

a) Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là: $\frac{144}{x}\left(m\right)$

Chu vi của mảnh vườn là: $P\left(x\right)=2\left(x+\frac{144}{x}\right)=2x+\frac{288}{x}\left(m\right)$

b) Vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(2x+\frac{288}{x}\right)=+\mathrm{\infty }$; $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(2x+\frac{288}{x}\right)=-\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị hàm số P(x) không có tiệm cận ngang.

Vì $\underset{x\to 0^{-}}{lim}y=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left(2x+\frac{288}{x}\right)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left(2x+\frac{288}{x}\right)=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận đứng là $x=0$.

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[P\left(x\right)-2x\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(2x+\frac{288}{x}-2x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{288}{x}=0$

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận xiên là: $y=2x$.