Cho hàm số y = f(x) = x - 1 + 2/x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng y = x - 1 như Hình 1.24

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

HĐ3 trang 23 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x-1+\frac{2}{x+1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $y=x-1$ như Hình 1.24.

a) Với $x>-1$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $y=x-1$. Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi $x\to +\mathrm{\infty }$?

b) Chứng tỏ rằng $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]=0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Lời giải:

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi $x\to +\mathrm{\infty }$ thì khoảng cách MH tiến tới 0.

b) Ta có:$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x-1+\frac{2}{x+1}-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x+1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=0$

Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng $y=x-1$ tiến đến 0 khi $x\to +\mathrm{\infty }$.