Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) y = 3 - x/2x + 1; b) y = 2x^2 + x - 1/x + 2

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1.18 trang 25 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Vì$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$;

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$

Do đó, đường thẳng $y=\frac{-1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3-x}{2x+1}$.

Vì $\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-}}{lim}y=\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-}}{lim}\frac{3-x}{2x+1}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{+}}{lim}y=\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{+}}{lim}\frac{3-x}{2x+1}=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đường thẳng $x=\frac{-1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3-x}{2x+1}$.

b) Vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+x-1}{x+2}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x\frac{\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(1+\frac{2}{x}\right)}\right]=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+x-1}{x+2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x\frac{\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(1+\frac{2}{x}\right)}\right]=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ không có tiệm cận ngang.

Vì $\underset{x\to -2^{-}}{lim}y=\underset{x\to -2^{-}}{lim}\frac{2x^2+x-1}{x+2}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to -2^{+}}{lim}y=\underset{x\to -2^{+}}{lim}\frac{2x^2+x-1}{x+2}=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ có tiệm cận đứng là $x=-2$

Ta có: $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{x+2}=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{x+2}=0$

Do đó, đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ có tiệm cận xiên là: $y=2x-3$.