Bài 9.2 trang 86 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 9.2 trang 86 Toán 11 Tập 2:Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = kx² + c (với k, c là các hằng số);

b) y = x³.

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = kx² + c.

Với x₀ bất kì, ta có:

f'(x₀) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k{x}^2+c-(k{x_0}^2+c)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k(x^2-{x_0}^2)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }$[k(x+x₀)] = 2kx₀.

Vậy hàm số y = kx² + c có đạo hàm là hàm số y' = 2kx.

b) Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

f'(x₀) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-{x_0}^3}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{(x-x_0)(x^2+x{x}_0+{x_0}^2)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }(x^2+x{x}_0+{x_0}^2)=3{x_0}^2$

Vậy hàm số y = x³ có đạo hàm là hàm số y' = 3x².