Bài 1.21 trang 39 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản 

Bài 1.21 trang 39 Toán 11 Tập 1

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Lời giải:

Vì v₀ = 500 m/s, g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là 

$y=\frac{-\mathrm{9,8}}{{2.500}^2.{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ hay $y=\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ .

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó $\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha =0$

$\iff x\left(\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }x+\tan \alpha \right)=0$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2500000{\cos }^2\alpha .\tan \alpha }{49}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2500000\cos \alpha .\sin \alpha }{49}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}\end{array}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}$ (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó $\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}=22000$ ⇔ sin 2α = $\frac{539}{625}$

Gọi $\beta \in \left.-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$  là góc thỏa mãn $\sin \beta =\frac{539}{625}$ . Khi đó ta có: sin 2α = sin β

$\iff \begin{array}{l}2\alpha =\beta +k2\pi \\ 2\alpha =\pi -\beta +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff \begin{array}{l}\alpha =\frac{\beta }{2}+k\pi \\ \alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\beta }{2}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Hàm số $y=\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$  là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) là

$\begin{array}{l}{x}_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{\tan \alpha }{2.\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }}=\frac{1250000\cos \alpha \sin \alpha }{49}\\ y_I=f\left(x_I\right)=\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{\left(\frac{1250000\cos \alpha \sin \alpha }{49}\right)}^2+\frac{1250000\cos \alpha \sin \alpha }{49}\tan \alpha \end{array}$

Hay $\begin{array}{l}{x}_I=\frac{1250000\cos \alpha \sin \alpha }{49}\\ y_I=\frac{625000{\sin }^2\alpha }{49}\end{array}$

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là $y_{\max }=\frac{625000{\sin }^2\alpha }{49}$.

Ta có $y_{\max }=\frac{625000{\sin }^2\alpha }{49}\le \frac{625000}{49}$ , dấu “=” xảy ra khi sin² α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất.