Số nghiệm của phương trình sin(2x+pi/3)=1/2 trên đoạn [0; 8pi] là

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 32

Câu 9 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên đoạn [0; 8π] là

A. 14.

B. 15.

C. 16.

D. 17.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

$\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=-\frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Trường hợp 1: $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ và x ∈ [0; 8π]

Suy ra $0\le -\frac{\pi }{12}+k\pi \le 8\pi$

$\iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{97}{12}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2; …; 8}

Do đó trong trường hợp này, phương trình có 8 nghiệm trên đoạn [0; 8π].

Trường hợp 2: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và x ∈ [0; 8π]

Suy ra $0\le \frac{\pi }{4}+k\pi \le 8\pi$

$\iff \frac{-1}{4}\le k\le \frac{31}{4}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 7}

Do đó trong trường hợp này, phương trình có 8 nghiệm trên đoạn [0; 8π].

Vậy số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên đoạn [0; 8π] là: 8 + 8 =16 nghiệm.