Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 32

Bài 2 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) $y=3\sin x+2\tan \frac{x}{3};$

b) $y=\cos x\sin \frac{\pi -x}{2}.$

Lời giải:

a) Hàm số $y=3\sin x+2\tan \frac{x}{3}$ xác định khi $\cos \frac{x}{3}\ne 0$

$\iff \frac{x}{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ $\iff x\ne \frac{3\pi }{2}+k3\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Tập xác định của hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là $D=ℝ\backslash \left.\frac{3\pi }{2}+k3\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$

⦁ Vì x ± 6π ∈ D với mọi x ∈ D và

$3\text{sin}\left(x+6\pi \right)+2\text{tan}\frac{x+6\pi }{3}$ = $3\text{sin}x+2\text{tan}\left(\frac{x}{3}+2\pi \right)$ = $3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$

Nên hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là hàm số tuần hoàn.

⦁ Vì ‒x ∈ D với mọi x ∈ D và

$3\text{sin}\left(-x\right)+2\text{tan}\left(-\frac{x}{3}\right)$ = $-3\text{sin}x-2\text{tan}\frac{x}{3}=-\left(3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}\right)$

Nên hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ có tập xác định là ℝ.

⦁ Vì x ± 4π ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và

$\text{cos}\left(x+4\pi \right)\text{sin}\frac{\pi -\left(x+4\pi \right)}{2}$ = $\text{cos}x\text{sin}\left(\frac{\pi -x}{2}-2\pi \right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

Nên hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ là hàm số tuần hoàn.

⦁ Vì ‒x ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và

$\text{cos}\left(-x\right)\text{sin}\frac{\pi +x}{2}$ = $\text{cos}x\text{sin}\left(\pi -\frac{\pi -x}{2}\right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

Nên hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ là hàm số chẵn.