HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2:Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)}{t}=1$ và đẳng thức

ln(x + h) – lnx = $\ln \left(\frac{x+h}{x}\right)=\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = log_ax.

Lời giải:

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x₀ ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x_0+h)-\ln x_0}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}.x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{x_0}.\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}}=\frac{1}{x_0}$

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = $\frac{1}{x}$ .

b)

Ta có ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ nên ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$ .