HĐ1 trang 17 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác 

HĐ1 trang 17 Toán 11 Tập 1

a) Cho $a=\frac{\pi }{4}$ và $b=\frac{\pi }{6}$, hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).

c) Bằng cách viết sin(a – b) = $\cos \left.\frac{\pi }{2}-\left(a-b\right)\right]=\cos \left.\left(\frac{\pi }{2}-a\right)+b\right]$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a – b).

Lời giải:

a) Ta có: a – b = $\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$ nên cos(a – b) = $\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

cos a cos b + sin a sin b

= $\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$

$=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Vậy cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Ta có: cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b)

Mà cos(– b) = cos b, sin(– b) = – sin b (hai góc đối nhau).

Do đó, cos(a + b) = cos a cos b + sin a . (– sin b) = cos a cos b – sin a sin b.

c) Ta có: sin(a – b) = $\cos \left.\frac{\pi }{2}-\left(a-b\right)\right]=\cos \left.\left(\frac{\pi }{2}-a\right)+b\right]$

$=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\cos b-\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\sin b$

$=\sin a\cos b-\cos a\sin b$  (do $\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\sin a$, $\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\cos a$).

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.