Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác 

Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1

a) $\sin a=\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi$;

b) sin a + cos a = $\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos² a = 1 suy ra

cos a = $-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = $2.\frac{1}{3}.\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

$\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{7}{9}$.

$\tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}$.  

b) Ta có: (sin a + cos a)² = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$$\iff {\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a=\frac{1}{4}$

$\iff 1+\sin 2a=\frac{1}{4}\iff \sin 2a=-\frac{3}{4}$.

Vì $\frac{\pi }{2}<a<\frac{3\pi }{4}$ nên $\pi <2a<\frac{3\pi }{2}$, do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin² (2a) + cos² (2a) = 1

Suy ra $\cos 2a=-\sqrt{1-{\sin }^2\left(2a\right)}=-\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Do đó, $\tan 2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.