Hàm số y = (2x -5) / (x + 3) đồng biến

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 4 trang 47 Toán lớp 12 Giải tích: Hàm số $y=\frac{2x-5}{x+3}$ đồng biến trên:

A. $ℝ$;

B. (-∞; 3) ;

C. (-3; +∞) ;

D. $ℝ$ \ {-3}.

Đáp án đúng là C

*Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ$\ {-3}

Ta có:

$y^{\text{'}}=\frac{11}{{\left(x+3\right)}^2}>0\forall x\in ℝ$

Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng (-∞; -3) và (-3; +∞).

* Lưu ý: Hàm số $y=\frac{2x-5}{x+3}$ không đồng biến trên $ℝ$\{-3} bởi vì:

Lấy x₁ = -4; x₂ = -2 ta có x₁ < x₂

nhưng f(x₁) > f(x₂),

(f(x₁) = 13; f(x₂) = -9.

Hàm số trên chỉ đồng biến trên từng khoảng (-∞; -3) và (-3; +∞).

*Phương pháp giải

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
3. Xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng con.
4. Kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của f'(x).

*Lý thuyết

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x)đồng biến(tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂thuộc K mà x₁nhỏ hơn x₂thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁< x₂$\Rightarrow$f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x)nghịch biến(giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂thuộc K mà x₁nhỏ hơn x₂thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁< x₂$\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm sốđơn điệutrên K.

- Nhận xét:Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>\text{}0;$$\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

f(x) nghịch biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<\text{\hspace{0.17em}}0;$$\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.