Cho hàm số y = -x^4 + 2mx^2 - 2m + 1 (m tham số) có đồ thị là (Cm)

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 10 trang 46 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Với giá trị nào của m thì (C_m) cắt trục hoành?

c) Xác định m để (C_m) có cực đại, cực tiểu.

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$.

y' = -4x³ + 4mx = 4x(m - x²)

y' = 0$\iff$4x(m - x²) = 0

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\left(1\right)\end{array}$

y'' = -12x² + 4m.

- Nếu m ≤ 0, phương trình y' = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Mà y''(0) = 4m < 0

Suy ra x = 0 là điểm cực đại và là cực trị duy nhất của hàm số.

- Nếu m > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 nên phương trình y'= 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Suy ra hàm số có 3 cực trị.

Vậy với m ≤ 0 thì hàm số có 1 điểm cực trị là điểm cực đại, còn m > 0 thì hàm số có 3 cực trị.

b) – Xét m ≤ 0, phương trình y' = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Ta có bảng biến thiên :

(C_m) cắt trục hoành

$\iff$1 – 2m ≥ 0

$\iff m\le \frac{1}{2}$

(thỏa mãn với mọi m ≤ 0) (1)

- Xét m > 0, phương trình y' = 0

có 3 nghiệm 0 ; $\pm \sqrt{m}$

Ta có bảng biến thiên :

(C_m) cắt trục hoành

$\iff$(m – 1)² ≥ 0

(thỏa mãn với mọi m) (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra (C_m) cắt trục hoành với mọi số thực m.

c) Dựa vào câu a ta có:

(C_m) có cực đại, cực tiểu (có 3 cực trị)

$\iff$m > 0.