Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x + 2

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 6 trang 45 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 2.

b) Giải phương trình f'(x - 1) > 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x₀, biết rằng f''(x₀) = -6.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số

f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 2

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = -3x² + 6x + 9

f'(x) = 0$\iff$-3x² + 6x + 9 = 0

$\iff$ x = -1; x = 3

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên (-1; 3)

Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1) và

(3; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 3, y_CĐ = 29.

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = -1; y_CT = -3.

- Đồ thị:

+ Giao với trục tung tại (0; 2).

+ Đi qua các điểm (-2; 4); (2; 24).

b) f'(x) = -3x² + 6x + 9.

$\Rightarrow$f'(x – 1) = -3(x – 1)² + 6.(x – 1) + 9.

Ta có: f'(x – 1) > 0

$\iff$ -3(x - 1)² + 6(x - 1) + 9 > 0

$\iff$ -3(x² - 2x + 1) + 6x - 6 + 9 > 0

$\iff$ -3x² + 6x - 3 + 6x - 6 + 9 > 0

$\iff$ -3x² + 12x > 0

$\iff$ -x² + 4x > 0

$\iff$ x(4 - x) > 0$\iff$0 < x < 4

Vậy 0 < x < 4 là nghiệm của bất phương trình.

c) Ta có: f"(x) = -6x + 6

Theo bài: f"(x₀) = -6

$\iff$-6x₀ + 6 = -6$\iff$x₀ = 2

Tại x₀ = 2

f'(2) = -3.2² + 6.2 + 9 = 9 ;

f(2) = -2³ + 3.2² + 9.2 + 2 = 24.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x₀ = 2 là

y = 9(x - 2) + 24 hay y = 9x + 6.