Giải phương trình f(x) = 1/3 (x^3) - 1/2 (x^2) - 4x +6

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 12 trang 47 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x+6$.

a) Giải phương trình f'(sin x) = 0.

b) Giải phương trình f"(cos x) = 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f"(x) = 0.

Lời giải:

a) Ta có: f'(x) = x² - x – 4

Khi đó: f'(sinx) = sin²x – sin x – 4.

f'(sin x) = 0

$\iff$sin²x - sinx - 4 = 0 

$\iff \sin x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$

Vì sinx [- 1; 1] với mọi $x\in ℝ$

Mà $\frac{1+\sqrt{17}}{2}>1;\frac{1-\sqrt{17}}{2}<1$

Do đó phương trình vô nghiệm.

b) Ta có: f"(x) = 2x – 1

Khi đó: f"(cosx) = 2cos x – 1.

    f"(cos x) = 0

$\iff$2cosx - 1 = 0

$\iff \cos x=\frac{1}{2}$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy nghiệm của phương trình là

$x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Ta có: f"(x) = 0

$\iff$2x – 1 = 0$\iff$x = $\frac{1}{2}$

Khi đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = $\frac{1}{2}$là:

$y=f^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)\Rightarrow y=\frac{17}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{47}{12}$

Hay $y=\frac{-17}{4}x+\frac{145}{24}.$