Cho hàm số y = 2x^2 + 2mx + m - 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 5 trang 45 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để hàm số:

    i) Đồng biến trên khoảng (-1; +∞);

    ii) Có cực trị trên khoảng (-1; +∞).

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Lời giải:

a) Với m = 1 ta được hàm số:

y = 2x² + 2x

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 4x + 2

y' = 0$\iff$4x + 2 = 0$\iff$ x = $\frac{-1}{2}$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$, đồng biến trên $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

- Đồ thị:

Ta có: 2x² + 2x = 0$\iff$2x(x + 1) = 0

$\Rightarrow$x = 0; x = -1

+ Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0)

Đồ thị hàm số đi qua điểm (-2; 4),

(1; 4)

b) Xét hàm số y = 2x² + 2mx + m - 1

y' = 4x + 2m = 2(2x + m)

y' = 0 $\Rightarrow$ x = $-\frac{m}{2}$

Ta có bảng xét biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy :

i) Hàm số đồng biến trên khoảng

(-1; +∞)

$\iff \left(-1;+\infty \right)\subset \left(\frac{-m}{2};+\infty \right)$

Vậy với $m\ge 2$ thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1; +∞).

ii) Hàm số có cực trị trên khoảng

(-1; +∞)

$\iff \frac{-m}{2}>-1\iff m<2$

Vậy với m < 2 thì hàm số đã cho có cực trị trên khoảng (-1; +∞).

c) Nhận thấy: 

$-\frac{m^2}{2}+m-1=-\frac{1}{2}{\left(m-1\right)}^2-\frac{1}{2}<0\mathrm{với}\mathrm{mọi}\mathrm{m}$ 

Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi m.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = 0 (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).