Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x^3 + 3x^2 + 1

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 7 trang 45, 46 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x³ + 3x² + 1.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: x³ + 3x² + 1 = $\frac{m}{2}$.

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = x³ + 3x² + 1.

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x² + 6x = 3x(x + 2)

y' = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = -2

+ Giới hạn:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng

(-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(-2; 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y_CT = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; y_CĐ = 5.

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

b) Số nghiệm của phương trình

x³ + 3x² + 1 = $\frac{m}{2}$ bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = $\frac{m}{2}$.

Từ đồ thị ta có:

+ Đường thẳng cắt đồ thị tại 1 điểm khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}\frac{m}{2}<1\\ \frac{m}{2}>5\end{array}\iff \begin{array}{l}m<2\\ m>10\end{array}$

Khi đó phương trình có 1 nghiệm.

+ Để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi :

$\begin{array}{l}\frac{m}{2}=1\\ \frac{m}{2}=5\end{array}\iff \begin{array}{l}m=2\\ m=10\end{array}$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

+ Với $1<\frac{m}{2}<5\iff$2 < m < 10.

Khi đó đường thẳng y = $\frac{m}{2}$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm

Do đó phương trình có ba nghiệm phân biệt.

c) Điểm cực đại A(-2; 5) và điểm cực tiểu B(0; 1).

Vtcp của đường thẳng AB: 

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(0+2;1-5\right)=\left(2;-4\right)=2\left(1;-2\right)$

Suy ra VTPT của AB là $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$

Đường thẳng AB đi qua A(-2 ; 5) và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$ nên có phương trình:

2(x + 2) + 1( y – 5) = 0

hay 2x + y - 1 = 0

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị (C) là: 2x + y – 1 = 0.