Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 8 trang 46 Toán lớp 12 Giải tích:

f(x) = x³ - 3mx² + 3(2m - 1)x + 1 (m là tham số).

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu?

c) Xác định m để f"(x) > 6x.

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$

f'(x) = 3x² - 6mx + 3(2m - 1)

Hàm số đồng biến trên

$\iff$f' (x) $⩾$0 với mọi $x\in ℝ$

$\iff$ Δ_f'(x) = (3m)² - 3.3(2m - 1) ≤ 0

 $\iff$9m² – 18m + 9 ≤ 0

 $\iff$9.(m – 1)² ≤ 0

 $\iff$(m – 1)² ≤  0

 $\iff$m = 1 (do (m – 1)² ) $\ge 0\forall x\in ℝ$

Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

$\iff$phương trình f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

$\iff$ Δ_f'(x) = 9(m - 1)² > 0

 $\iff$m ≠ 1

Vậy với m ≠ 1 thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

c) Ta có: f"(x) = 6x - 6m

f"(x) > 6x$\iff$6x - 6m > 6x

$\iff$- 6m > 0$\iff$m < 0

Vậy m < 0 thì thỏa mãn yêu cầu.