Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 1 trang 45 Toán lớp 12 Giải tích:

y = – x³ + 2x² – x – 7, $y=\frac{x-5}{1-x}$

Lời giải:

- Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

+ f(x) đồng biến (tăng) trên K

nếu f’(x) > 0 với $\forall x\in K.$

+ f(x) nghịch biến (giảm) trên K

nếu f’(x) < 0 với $\forall x\in K.$

- Xét hàm số y = – x³ + 2x² – x – 7,

TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = – 3x² + 4x – 1

+ Hàm số đồng biến

$\iff$– 3x² + 4x – 1 > 0

$\iff \frac{1}{3}<x<1$

+ Hàm số nghịch biến

$\iff$– 3x² + 4x – 1 < 0

$\iff \begin{array}{l}x<\frac{1}{3}\\ x>1\end{array}$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(\frac{1}{3};1\right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và (1;+∞).

- Xét hàm số $y=\frac{x-5}{1-x}$

Ta có: D = $ℝ$ \ {1}

$y^{\text{'}}=\frac{1-x+x-5}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{-4}{{\left(1-x\right)}^2}<0\forall x\in D$

Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).