Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (x + 3)/(x + 1)

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 11 trang 46 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}.$

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}.$

- TXĐ: D = $ℝ$ \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

$y^{\text{'}}=\frac{-2}{{\left(x+1\right)}^2}<0\forall x\in D$

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x+3}{x+1}=+\infty$

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có: 

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+3}{x+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=1$

Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Giao với Oy: (0; 3)

+ Đồ thị hàm số nhận (-1; 1) là tâm đối xứng.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) y = 2x + m là: $\frac{x+3}{x+1}=2x+m$

$\iff \begin{array}{l}x+3=\left(2x+m\right)\left(x+1\right)\left(1\right)\\ x\ne -1\end{array}$

Ta có:

(1)$\iff$(2x + m)(x + 1) = x + 3

$\iff$2x² + mx + 2x + m = x + 3

$\iff$ 2x² + (m + 1)x + m – 3 = 0 (*)

Ta có:

2 . (-1)² + (m + 1) . (-1) + m – 3

= 2 – m – 1 + m – 3 = - 2 ≠ 0

nên x = - 1 không phải là nghiệm của (*)

Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt.

$\iff$ Δ = (m + 1)² – 8(m – 3) > 0

$\iff$m² – 6m + 25 > 0

$\iff$ (m – 3)² + 16 > 0

Đúng với mọi $m\in ℝ$.

Vậy với mọi $m\in ℝ$, (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Gọi M(x_M; y_M); N(x_N; y_N)

Suy ra x_M; x_N là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-et ta có :

$\begin{array}{l}{x}_M+x_N=\frac{-\left(m+1\right)}{2}\\ x_M.x_N=\frac{m-3}{2}\end{array}$

Ta có:

$M{N}^2={\left(x_M-x_N\right)}^2+{\left(y_M-y_N\right)}^2={\left(x_M-x_N\right)}^2+{\left(2x_M+m-2x_N-m\right)}^2=5{\left(x_M-x_N\right)}^2=5{\left(x_M+x_N\right)}^2-20x_M.x_N=5.{\left(\frac{-\left(m+1\right)}{2}\right)}^2-20.\frac{m-3}{2}=\frac{5}{4}{m}^2-\frac{15}{2}m+\frac{125}{4}\begin{array}{l}=\frac{5}{4}\left(m^2-6m+9\right)+20\\ =\frac{5}{4}{\left(m-3\right)}^2+20\ge 20\forall m\end{array}$

Dấu "=" xảy ra$\iff$m - 3 = 0$\iff$m = 3

Vậy độ dài MN nhỏ nhất khi m = 3.

d) Gọi $S\left(x_0;\frac{x_0+3}{x_0+1}\right)$ là một điểm thuộc (C).

Ta có: $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\frac{-2}{{\left(x_0+1\right)}^2}$

+ Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại S là:

$y=\frac{-2}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0+3}{x_0+1}$

+ Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1:

Tại x = -1 thì  

$y=\frac{-2}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(-1-x_0\right)+\frac{x_0+3}{x_0+1}$

Suy ra giao điểm $P\left(-1;\frac{x_0+5}{x_0+1}\right)$

+ Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang y = 1:

Tại y = 1

$\Rightarrow \frac{-2}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0+3}{x_0+1}=1$

$\Rightarrow x=2x_0+1$

Suy ra giao điểm Q(2x₀ + 1; 1)

Ta có:

$\begin{array}{l}{x}_P+x_Q=-1+2x_0+1=2x_0=2x_S\\ y_P+y_Q=\frac{x_0+5}{x_0+1}+1=\frac{2x_0+6}{x_0+1}=2.\frac{x_0+3}{x_0+1}=2y_S\end{array}$

Vậy S là trung điểm PQ (đpcm).