Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Giải Toán 12 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 9 trang 46 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}$

b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f"(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x⁴ - 6x² + 3 = m.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}$

- TXĐ: D = $ℝ$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = 2x³ - 6x = 2x(x² - 3)

f'(x) = 0 $\iff$ 2x(x² - 3) = 0

$\iff$ x = 0; x = $\pm \sqrt{3}$

+ Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên $\left(-\sqrt{3};0\right)$ và $\left(\sqrt{3};+\infty \right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)$ và $\left(0;\sqrt{3}\right).$

Hàm số đạt cực đại tại

x = 0, y_CĐ = $\frac{3}{2}$

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = $\pm \sqrt{3}$; y_CT = -3.

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng.

+ Đồ thị cắt trục tung tại (0; 1,5).

b) Ta có: f"(x) = 6x² - 6 = 6(x² - 1)

f"(x) = 0$\iff$6(x² - 1)

$\iff$ x = ±1 $\iff$ y(±1) = -1,

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là:

y = f'(-1)(x + 1) – 1

$\Rightarrow$ y = 4x + 3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là:

y = f'(1)(x - 1) - 1

$\Rightarrow$ y = -4x + 3

c) Ta có: x⁴ - 6x² + 3 = m  (*)

$\iff \frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}=\frac{m}{2}$

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = $\frac{m}{2}$.

Từ đồ thị (C) nhận thấy :

+ $\frac{m}{2}$ < - 3$\iff$m < -6

Suy ra đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C)

Phương trình vô nghiệm.

+  $\frac{m}{2}$= -3$\iff$m = -6

Suy ra đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm

 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ -3 < $\frac{m}{2}$ < $\frac{3}{2}$ $\iff$ -6 < m < 3

Suy ra đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt

 Phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

+ $\frac{m}{2}$ = $\frac{3}{2}$$\iff$ m = 3

Suy ra đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm

 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

+ $\frac{m}{2}$ > $\frac{3}{2}$$\iff$m > 3

Suy ra đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy:

+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.

+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm phân biệt.

+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm phân biệt.

+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm phân biệt.