Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

A. Lý thuyết

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>\text{}0;$ $\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

f(x) nghịch biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<\text{\hspace{0.17em}}0;$$\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với $\forall x\in \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}K$ thì f(x) không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a) y = x² + 2x – 10;

b) $y=\frac{x+5}{2x-3}$

Lời giải:a) Hàm số đã cho xác định với mọi x$\in ℝ$

Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-1;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$.

b) $y=\frac{x+5}{2x-3}$

Hàm số đã cho xác định với $\forall x\ne \frac{3}{2}$

Ta có: $y\text{'}=\frac{-13}{{(2x-3)}^2}<0\forall x\ne \frac{3}{2}$

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ và $\left(\frac{3}{2};+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$

- Chú ý:

Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\right);\forall x\in K$

Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x³ – 6x² + 12x – 10.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x$\in R$

Ta có: y’ = 3x² – 12x + 12 = 3(x – 2)²

Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với $\forall x\ne 2$

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên R.

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x_i ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x⁴ – 2x² – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x³ – 4x

y’ = 0$\iff \begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và $(1;+\infty )$

Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$ và (0; 1).

Ví dụ 4. Cho hàm số $y=-x^3+6x^2-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}9x+3$. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x² + 12x – 9

Và y’ = 0$\iff \begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = – x⁴ + 2x² + 2;

b) y = x³ – 3x² + 1;

c) $y=\frac{x}{x\text{\hspace{0.17em}}+1}$

Lời giải:

a) Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 4x³ + 4x

$y\text{'}=0\iff \begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$ và (0; 1).

Nghịch biến trên khoảng (–1; 0) và $(1;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$.

b) Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 3x² – 6x.

Và $y\text{'}=0\iff x=0;x=2$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$

Nghịch biến trên khoảng (0; 2).

c) $y=\frac{x}{x\text{\hspace{0.17em}}+1}$

Hàm số đã cho xác định với mọi $x\ne -1$

Ta có: $y\text{'}=\frac{1}{{(x+\text{}1)}^2};\forall x\ne -1$

Ta thấy với mọi x khác – 1 thì y’ > 0.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $(-1;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$.

Bài 2. Chứng minh hàm số $y=\frac{x^2-1}{x}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi $x\ne 0$.

Ta có: $y\text{'}=\frac{2x.x-1.(x^2-1)}{x^2}=\frac{x^2+\text{}1}{x^2};$$\forall x\ne 0$

Ta thấy, với mọi x ≠ 0 thì y’ > 0.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ (đpcm).

Bài 3. Chứng minh hàm số $y=\sqrt{8x-x^2}$ đồng biến trên khoảng (0; 4); nghịch biến trên khoảng (4; 8).

Lời giải:

Điều kiện: $8x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 8$

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(8x-x^2)\text{'}}{2\sqrt{8x-x^2}}=\frac{8-2x}{2\sqrt{8x-x^2}}\\ y\text{'}=0\iff x=4\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 4) và nghịch biến trên khoảng (4; 8) (đpcm)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng$\left(-\infty ;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$và $\left(1;+\infty \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng$\left(-\infty ;1\right)$và $\left(1;+\infty \right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

TXĐ:$D=ℝ\backslash \left.1\right\}$.

Ta có $y\text{'}=\frac{2}{{(1-x)}^2}>0\text{, }\forall x\ne 1$

Hàm số đồng biến trên các khoảng

$(-\infty ;1)$và$(1;+\infty )$.

Câu 2.

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $ℝ$.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng$\left(-\infty ;2\right)$và$\left(2;+\infty \right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng$\left(-\infty ;-2\right)$ và$\left(-2;+\infty \right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

TXĐ:$D=ℝ\backslash \left.2\right\}$.

Ta có$y\text{'}=-\frac{10}{{(-4+2x)}^2}<0,\forall x\in D$.

Câu 3.

A. Hàm số luôn nghịch biến trên$ℝ$.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng$\left(-\infty ;1\right)$ và$\left(1;+\infty \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng$\left(-\infty ;1\right)$ và nghịch biến trên khoảng$\left(1;+\infty \right)$.

D. Hàm số luôn đồng biến trên$ℝ$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

TXĐ:$D=ℝ$.

Ta có

$y\text{'}=-3x^2+6x-3$

$=-3{(x-1)}^2\le 0\text{ , }\forall x\in ℝ$

Do đó hàm số đã cho luôn nghịch biến trên $ℝ$.

Câu 4.

A. $\left(\frac{1}{2};1\right).$

B. $\left(0;\frac{1}{2}\right).$

C.$\left(-\infty ;0\right).$

D. $\left(1;+\infty \right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$y^{\text{'}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}<0$

$\iff \{\begin{array}{l}x-x^2>0\\ 1-2x>0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}0<x<1\\ x<\frac{1}{2}\end{array}$

$\iff 0<x<\frac{1}{2}$.

Câu 5:

A.(-$\infty$; 1) $\cup$(1; +$\infty$).

B.(-$\infty$; 1) và (1; +$\infty$).

C.R\{1}.

D.(-$\infty$; +$\infty$).

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:$y=\frac{{\left(x-1\right)}^2-1}{x-1}$

$=x-1-\frac{1}{x-1}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=1+\frac{1}{{(x-1)}^2}>0,\forall x\ne 1$

Câu 6.

A.(-2; 1).

B.(-$\infty$; +$\infty$).

C.(-$\infty$; -1) và (-1; +$\infty$).

D.(-$\infty$; +$\infty$)\{-1}.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:$y=x-\frac{3}{x+1}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=1+\frac{3}{{(x+1)}^2}>0,\forall x\ne -1$.

Câu 7.

A.1.

B.4.

C.2.

D.3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-3\right)\left(2+x\right)-\left(x^2-3x-1\right)}{{\left(2+x\right)}^2}$

$=\frac{x^2+4x-5}{{(2+x)}^2}<0$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x^2+4x-5<0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x\ne -2\\ -5<x<1\end{array}$

$\Rightarrow x\in \left.-4;-3;-1\right\}$.

Câu 8.

A.Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty$; 0) và (6; +$\infty$).

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 6).

C.Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

D.Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty$; 0) và (2; +$\infty$).

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x<0\leftrightarrow 0<x<2$

Câu 9.

A.y = x³– 2x – 2.

B.y = x²⁰¹⁹+ x²⁰²¹– 2.

C.y = -x³+ x + 3.

D.y = x²⁰¹⁸+ x²⁰²⁰– 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có B đúng vì $y\text{'}=2019x^{2018}+2021x^{2010}⩾0,\forall x\in \mathrm{ℝ}$

Câu 10.

Hàm số$y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.(-2; 0).

B.(-$\infty$; -2).

C.(0; 2).

D.(0; +$\infty$).

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số nghịch biến trên $\left(-2;0\right)\cup \left(2;+\infty \right).$