Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

A. Lý thuyết

I. Tọa độ của điểm và của vecto

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$.

2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\text{}z.\overrightarrow{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\text{\hspace{0.17em}}z.\overrightarrow{k}$.

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z).

3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂; a₃) sao cho $\overrightarrow{a}=a_1.\overrightarrow{i}+a_2.\overrightarrow{j}+\text{\hspace{0.17em}}{a}_3.\overrightarrow{k}$.

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết $\overrightarrow{a}=$(a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\overrightarrow{a}$(a₁; a₂ ; a₃).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$

Ta có: M(x; y; z)$\iff \overrightarrow{OM}(x;y;z)$

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

Ví dụ 1. Cho $\overrightarrow{u}(2;-3;4);$$\overrightarrow{v}(4;-2;0)$

a) Tính $\overrightarrow{u}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{v}$;

b) $2\overrightarrow{v}$;

c) $\overrightarrow{u}-2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$= (2 + 4; -3-2; 4 + 0) = (6; -5; 4);

b) Ta có: $2\overrightarrow{v}$ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: $\overrightarrow{u}-2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{v}$= ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),$$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$, ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$$\iff \begin{array}{l}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_3\end{array}$

b) Vecto $\overrightarrow{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\iff \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}(k\in ℝ)$

$\iff \begin{array}{l}{a}_1=k{b}_1\\ a_2=k{b}_2\\ a_3=k{b}_3\end{array}$$\iff \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3},$$(b_1,b_2,b_3\ne 0)$

Ví dụ 2. Cho $\overrightarrow{u}(2m;3;-1);$$\overrightarrow{v}(4;3;n-2)$. Tìm m và n để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Lời giải:

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{-4}=\frac{3}{-6}\ne \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính $\overrightarrow{AB}$;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

III. Tích vô hướng.

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),$$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$

Ví dụ 5. Cho $\overrightarrow{a}(1;-3;4);\overrightarrow{b}(1;2;1)$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A) và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto $\overrightarrow{AB}$. Do đó, ta có:

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu là góc góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ với $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì

Từ đó, suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff$$a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

IV. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r=\sqrt{A^2+B^2+\text{\hspace{0.17em}}{C}^2-\text{}D}$.

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x² + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính $R=\sqrt{2^2+\text{\hspace{0.17em}}{(-1)}^2+0^2-(-1)}$$=\sqrt{6}$

b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2

Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính $R=\sqrt{4^2+\text{\hspace{0.17em}}{1}^2+{(-1)}^2-2}$= 4

B. Bài tập tự luyện

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.

Bài 1. Cho ba vecto $\overrightarrow{a}(1;2;0);$$\overrightarrow{b}(0;-2;3);$$\overrightarrow{c}(3;-3;0)$

a) Tính $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$;

b) Tính $2\overrightarrow{a}-b+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$

Lời giải:

Bài 2. Cho tam giác MNP biết M(0; -2; 1); N( -2; 1; 2) và P( -1; -2; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác

Lời giải:

Bài 3. Cho các vecto $\overrightarrow{a}(1;2;-3);$$\overrightarrow{b}(2;0;3);$$\overrightarrow{c}(-1;2;1)$

Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b};\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2.0+\text{}(-3).3=-7\\ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=2.(-1)+0.2+3.1=1\end{array}$

Bài 4. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau:

a) x² + y² + z² + 6x - 2y + 4z - 3 = 0;

b) 2x² + 2y² + 2z² – 4x – 8y + 12z + 2 = 0.

Lời giải:

Bài 5. Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện:

a) Đường kính MN trong đó M(2; 2; 2); N ( 4; 4; 0);

b) Tâm I(2; -1; 0) và đi qua A( 2; 3; 0)

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Câu 1.

A. $A_1\left(1;0;0\right)$

B. $A_1\left(0;2;3\right)$

C. $A_1\left(1;0;3\right)$

D. $A_1\left(1;2;0\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình mặt phẳng (Oxz): x = 0.

Tọa độ điểm $A_1$ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oyz) là:$A_1\left(0;2;3\right)$

Câu 2.

A. $A\text{'}\left(3;-2;1\right)$

B.$A\text{'}\left(3;2;-1\right)$

C. $A\text{'}\left(3;-2;-1\right)$

D. $A_1\left(1;2;0\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Tọa độ điểm A’ đối xứng với A(-3; 2; -1) qua gốc tọa độ O là: A'(3; -2; 1)

Câu 3.

A. $M\left(-1;1;1\right)$

B. $M\left(-2;2;2\right)$

C. $M\left(-2;0;1\right)$

D. $M\left(-1;2;1\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB nên:

$\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-3+1}{2}=-1\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1+1}{2}=1\\ z_M=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{2+0}{2}=1\end{array}$

$\Rightarrow M\left(-1;1;1\right)$

Câu 4.

A. P(3;0;0)

B. N(3;-1;5)

C. M(0;-2;4)

D. Q(0;0;5)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Trung điểm I của AB có tọa độ $I\left(1;-2;4\right)$

Vậy hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oyz) là: $M\left(0;-2;4\right)$

Câu 5.

A. 3

B. 2

C. 1

D. – 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Do u = v nên $m=0,n=2,p=1$

Vậy $m-n+p=0-2+1=-1$

Câu 6.

A. (-2;6;3)

B. (2;-6;-3)

C. (-4;2;-1)

D. (2;2;-3)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì$M\left(-1;-2;-2\right),N\left(-3;4;1\right)$ nên$\overrightarrow{OM}=\left(-1;-2;-2\right),$

$\overrightarrow{ON}=(-3;4;1)$

Do đó, $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\left(2;-6;-3\right)$

Câu 8.

A. -2 - x

B. 3x + 2

C. 3x - 2

D x + 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x.1+2.\left(-1\right)+1.2x$

$=3x-2$

Câu 9.

A. (16;-4;29)

B. (-16;-4;-29)

C. (-16;-4;29)

D. (-16;4;29)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}$

$=2\left(-2;-3;3\right)-3\left(0;2;-1\right)+4\left(-3;2;5\right)$

$=\left(-4;-6;6\right)-\left(0;6;-3\right)+\left(-12;8;20\right)$

=$\left(-16;-4;29\right)$

Câu 10.

A. $\overrightarrow{i}$

B. $\overrightarrow{j}$

C. $\overrightarrow{k}$

D. $\overrightarrow{0}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Véc tơ $\overrightarrow{j}$ là véc tơ đơn vị của trục Oy.