Lý thuyết Lôgarit (2024) và bài tập có đáp án

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Lôgarit

I. Lý thuyết về lôgarit

1. Định nghĩa logarit

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log 4_{}\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất của logarit

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log a_{}\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ 2.

$4^{-2{\log }_{4}3}={\left(4^{{\log }_{4}3}\right)}^{-2}$$=3^{-2}=\frac{1}{9}$

$\log 3_{}\left(\frac{1}{27}\right)$$={\log }_3\left(3^{-3}\right)=-3$

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b)_2={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

${\log }_{2}12+\text{\hspace{0.17em}}{\log }_2\frac{1}{3}={\log }_2\left(12.\frac{1}{3}\right)={\log }_{2}4=2$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

– Ví dụ 4.

$\log 575-{\log }_{5}3={\log }_5\frac{75}{3}={\log }_{5}25=2$

3. Logarit của một lũy thừa

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{l}\log 7_{}{3}^6=6{\log }_{7}3\\ {\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

III. Đổi cơ số logarit

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(\text{}b\ne 1)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \ne 0)\end{array}$

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

Lời giải:

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

– Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tính:

a) $a^{{\log }_{\text{exception 25:}}8}$ với a > 0.

b) $4^{3{\log }_{8}3+2{\log }_{16}5}$

c) $a^{4lo{g}_{a^2}10}$

Lời giải:

Bài 2. Tính

a) $\frac{1}{2}{\log }_{7}36-{\log }_{7}14-3{\log }_7\sqrt[3]{21}$;

b) $3{\log }_{3}2+{\log }_{9}25-{\log }_{\sqrt{3}}3$;

c) ${\log }_{\sqrt{a}}{b}^3.{\log }_b{a}^4$ (a > 0; b > 0 và a; b đều khác 1).

Lời giải:

Bài 3. Biết log₇2 = m. Tính giá trị của biểu thức log₄₉ 28 theo m?

Lời giải:

Trắc nghiệm Logarit

Câu 1.

(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.

(II). Chỉ số thực dương mới có logarit.

(III).$\ln \left(A+B\right)=\ln A+\ln B$ với mọi$A>0,B>0$.

(IV)${\log }_{a}b.{\log }_{b}c.{\log }_{c}a=1$, với mọi$a,b,c\in ℝ$.

Số mệnh đề đúng là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Do đó (I) sai.

Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.

Ta có $\ln A+\ln B=\ln \left(A.B\right)$ với mọi $A>0,B>0$. Do đó (III) sai.

Ta có ${\log }_{a}b.{\log }_{b}c.{\log }_{c}a=1$ với mọi $0<a,b,c\ne 1$. Do đó (IV) sai.

Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng.

Câu 2.

(I). Nếu$C=\sqrt{AB}$ với$AB>0$ thì$2\ln C=\ln A+\ln B$

(II).$\left(a-1\right){\log }_{a}x\ge 0\iff x\ge 1$

(III). $M^{{\log }_{a}N}=N^{{\log }_{a}M}$

(IV). $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\log }_{\frac{1}{2}}x\right)=-\infty$

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Nếu $C=\sqrt{AB}$ với $AB>0$ thì $2\ln C=\ln \left.A\right|+\ln \left.B\right|$. Do đó (I) sai.

● Với $a>1$ thì $\left(a-1\right){\log }_{a}x\ge 0$

$\iff {\log }_{a}x\ge 0\iff x\ge 1$

● Với $0<a<1$ thì $\left(a-1\right){\log }_{a}x\ge 0$

$\iff {\log }_{a}x\le 0\iff x\ge 1$

Do đó (II) đúng.

Lấy lôgarit cơ số a hai vế của $M^{{\log }_{a}N}=N^{{\log }_{a}M}$, ta có

${\log }_a\left(M^{{\log }_{a}N}\right)={\log }_a\left(N^{{\log }_{a}M}\right)$

$\iff {\log }_{a}N.{\log }_{a}M={\log }_{a}M.{\log }_{a}N$ .

Do đó (III) đúng.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\log }_{\frac{1}{2}}x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left.-{\log }_{2}x\right]$

$=-\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\log }_{2}x\right)=-\infty$

Do đó (IV) đúng.

Vậy ta có các mệnh đề (II), (III) và (IV) đúng.

Câu 3.

A. $a<0,b>0$

B. $0<a\ne 1,b<0$

C. $0<a\ne 1,b>0$

D. $0<a\ne 1,0<b\ne 1$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Điều kiện để ${\log }_{a}b$ có nghĩa là: $0<a\ne 1,b>0$

Câu 4.

A. $x\le 3$

B. $x>3$

C. $x\ge 3$

D. $x<3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Để biểu thức ${\log }_2\left(3-x\right)$ xác định thì 3-x>0 => x < 3

Câu 5.

A.$P=2016.$

B.$P=1009.$

C. $P=2017.$

D. $P=1008.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}{x}^{1+\frac{1}{2{\log }_{4}x}}=x^{1+\frac{1}{{\log }_{2}x}}\\ \end{array}$

$=x^{1+{\log }_{x}2}=x^{{\log }_x\left(2x\right)}=2x$

$8^{\frac{1}{3{\log }_{x^2}2}}=2^{3.\frac{1}{3.{\log }_{x^2}2}}$

$=2^{\frac{1}{{\log }_{x^2}2}}=2^{{\log }_2{x}^2}=x^2$

Khi đó $f\left(x\right)={\left(x^2+2x+1\right)}^{\frac{1}{2}}-1$

$={\left[{\left(x+1\right)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}-1=x.$

Suy ra $f\left(2017\right)=2017$

$\stackrel{}{\to }f\left(f\left(2017\right)\right)=f\left(2017\right)=2017.$

Câu 6.

A. ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{b}c$

B. ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

C. ${\log }_a\frac{b}{c}=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$

D. ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$$\left(0<a\ne 1;b,c>0\right)$

${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$$\left(0<a\ne 1;b,c>0\right)$

Câu 7.

A. ${\log }_{a}b>{\log }_{a}c$

B. ${\log }_{a}b<{\log }_{a}c$

C. ${\log }_{a}b<{\log }_{b}c$

D. ${\log }_{a}b>{\log }_{c}b$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Nếu a > 1 và b > c > 0 thì log_ab > log_ac

Câu8.

A.$P={\log }_{b}a.$

B.$P=1.$

C.$P=0.$

D. $P={\log }_{a}b.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Từ giả thiết, ta có

$P=\left({\log }_{a}b+{\log }_{b}a+2\right)$

$\times ({\log }_{a}b-\frac{1}{1+{\log }_{b}a}).{\log }_{b}a-1$

$\stackrel{t={\log }_{b}a}{\to }\left(t+\frac{1}{t}+2\right)\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)t-1$

$=\frac{{(t+1)}^2}{t}.\frac{1}{t(t+1)}t-1$

$=\frac{t+1}{t}-1=\frac{1}{t}={\log }_{a}b.$

Câu 9.

A.9

B.7

C.11

D. 5

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Vì B là trọng tâm của tam giác OAC nên

$\begin{array}{l}\frac{0+b+b}{3}=c\\ \frac{0+{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b}{3}=2{\log }_{a}c\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b+b=3c\\ 4{\log }_{a}b=6{\log }_{a}c\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2b=3c\\ 2{\log }_{a}b=3{\log }_{a}c\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2b=3c\\ {\log }_a{b}^2={\log }_a{c}^3\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2b=3c\\ b^2=c^3\end{array}$

$\stackrel{c>0}{\to }\{\begin{array}{l}b=\frac{27}{8}\\ c=\frac{9}{4}\end{array}$

$\stackrel{}{\to }S=2b+c=9.$

Câu 10.

A. $I=3$

B. $I=\frac{1}{3}$

C. $I=-\frac{1}{3}$

D. $I=-3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:$I={\log }_{\frac{a}{4}}\left(\frac{a^3}{64}\right)$

$={\log }_{\frac{a}{4}}{\left(\frac{a}{4}\right)}^3$

$=3{\log }_{\frac{a}{4}}\frac{a}{4}=3$