Lý thuyết Đường tiệm cận (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận

Bài giảng Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận

A. Lý thuyết

I. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a;+\infty );(-\infty ;b);$$(-\infty ;+\infty )$). Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}$.

Hàm số xác định trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0$

II. Đường tiệm cận đứng

- Định nghĩa:

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Ví dụ 2. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x\text{\hspace{0.17em}}+2}{x-4}$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: $\underset{x\to 4_{+}^{}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=+\infty ;$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=-\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các đường tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

Bài 2. Tìm các đường tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 5_{+}^{}}{\lim }\frac{3-x}{x-5}=-\infty ;$$\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{3-x}{x-5}=+\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 5.

b) Ta có: x² – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)

Khi đó:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 4_{+}^{}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=+\infty ;\\ \underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=-\infty ;\\ \underset{x\to 1_{+}^{}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=-\infty ;\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=+\infty ;\end{array}$

Suy ra: đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 4 và x = 1.

c) Ta có:

$y=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2}=\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}=\frac{1}{x+1}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to -1_{+}^{}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2}\\ =\underset{x\to -1_{+}^{}}{\lim }\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}\\ =\underset{x\to -1_{+}^{}}{\lim }\frac{1}{x+1}=+\infty ;\\ \underset{x\to -1_{-}^{}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2}\\ =\underset{x\to -1_{-}^{}}{\lim }\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}\\ =\underset{x\to -1_{-}^{}}{\lim }\frac{1}{x+1}=-\infty ;\end{array}$

Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là x = – 1.

Bài 3. Đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x+1}{x^2-\text{x}-6}$ có bao nhiêu tiệm cận?

Lời giải:

Nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 3 và x = – 2.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 tiệm cận (gồm 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang).

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận

Câu 1:

A.2.

B.3.

C.1.

D.0.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$y=\frac{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}=\frac{x+1}{x+4}$

$\Rightarrow$TCĐ: $x=-4$.

Câu 2:

A. $y=2.$

B. $x=2.$

C. $x=1.$

D. $y=1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có tiệm cận đứng x=2

Câu 3:

A. $I\left(-2;2\right).$

B. $I\left(2;2\right).$

C. $I\left(2;-2\right).$

D.$I\left(-2;-2\right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có tiệm cận đứng $x=-2$.

Lại có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+2}=2$

$\Rightarrow TCN:y=2$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+2}=2$

$\Rightarrow TCN:y=2$

$\Rightarrow I(-2;2)$

Câu 4:

A.$y=2.$

B.$y=4.$

C. $y=\frac{1}{2}.$

D. $y=-2.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-4x}{2x-1}=-2$

$\Rightarrow TCN:y=-2$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-4x}{2x-1}=-2$

$\Rightarrow TCN:y=-2$

Câu 5:

A. $y=\frac{2x-3}{x-1}.$

B. $y=\frac{3x+2}{3x-1}.$

C. $y=\frac{x+3}{x+1}.$

D. $y=\frac{x}{x^2+1}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ có TCĐ x=1.

Câu 6:

A. $y=2^x.$

B.$y={\log }_{2}x.$

C.$y=\frac{x}{x^2+1}.$

D. $y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Dễ thấy đồ thị hàm số $y={\log }_{2}x$ có TCĐ x = 0

Câu 7:

A.2.

B.0.

C.3.

D.1.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $y=\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}=\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}$ ==> đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.

Câu 8:

A. $f\left(x\right)=3^x$

B. $g\left(x\right)={\log }_{3}x$

C. $h\left(x\right)=\frac{1}{1+x}$

D. $k\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x+3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đồ thị hàm số ${\log }_{3}x$ không có tiệm cận ngang.

Câu 9:

A.4

B.1

C.3

D.2

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3 và x = -3 , tiệm cận ngang y = 0.

Câu 10:

A.1

B.2

C.4

D.3

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

TXĐ:$D=ℝ$.

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{X^2}}}=1$,

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1$

Suy ra đồ thị có hai đường tiệm cận ngang $y=\pm 1$ và không có tiệm cận đứng.