Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Bài giảng Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

A. Lý thuyết

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^x\ge b;a^x\le b$) với a > 0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là vì a^x > 0$\ge b;\forall x\in ℝ$

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x > 125$\iff$x > log₅125$\iff$x > 3.

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>27$$\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}27$$\iff x<-3$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

2. Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3^{x + 2} < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

$\iff$x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b (hoặc log_ax < 0; ${\log }_{a}x\le 0;$${\log }_{a}x\ge 0$) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b$\iff$x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b$\iff$0 < x < a^b.

– Ví dụ 3.

a) log₂x > 7$\iff$x > 2⁷.

b) ${\log }_{\frac{2}{5}}x<3$$\iff x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_3(x^2+\text{}2x)>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\log }_3(x+2)$.

Lời giải:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các bất phương trình

a) $3^{-x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x}>\frac{1}{27}$;

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{x+\text{\hspace{0.17em}}2}<{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2-2x}$;

c) 2.3^x + 3^{x + 2} < 99.

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là – 1 < x < 3.

Bài 2. Giải các bất phương trình logarit:

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit

Câu1.

A.$S=\left(0;\frac{1}{3}\right)$.

B.$S=\left(0;\frac{1}{3}\right]$.

C.$S=\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right]$.

D.$S=\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right]\cup \left(0;+\infty \right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì $\frac{2}{\sqrt{5}}<1$ nên bất phương trình

$\iff \frac{1}{x}\ge 3\iff \frac{1-3x}{x}\ge 0$

$\iff 0<x\le \frac{1}{3}.$

Câu2.

A.$x\le -2.$

B.$x\ge 4.$

C.$-2\le x\le 4.$

D.$x\le -2$;$x\ge 4.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Do $\tan \frac{\pi }{7}<1$ nên bất phương trình $\iff x^2-x-9\ge x-1$

$\iff x^2-2x-8\ge 0$

$\iff \begin{array}{l}x\ge 4\\ x\le -2\end{array}.$

Câu3.

A. 2013

B. 2017

C. 2014

D. 2021

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình $4^x{.3}^3>3^x{.4}^3$

$\iff \frac{4^x}{3^x}>\frac{4^3}{3^3}$

$\iff {\left(\frac{4}{3}\right)}^x>{\left(\frac{4}{3}\right)}^3$

$\iff x>3.$

Vì x nguyên và thuộc đoạn $\left.-2017;2017\right]$

Vậy có tất cả 2014 giá trị thỏa mãn.

Câu4.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Bất phương trình $8^x{.2}^{1-x^2}>{\left(\sqrt{2}\right)}^{2x}$

$\iff 2^{3x}{.2}^{1-x^2}>2^x$

$\iff 2^{3x+1-x^2}>2^x$

$\iff 3x+1-x^2>x$

$\iff x^2-2x-1<0$

$\iff 1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là$S=\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$.

Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là$\left.1;2\right\}.$

Câu5.

A.$P=2.$

B.$P=1.$

C.$P=0.$

D. $P=2{\log }_{2}3.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình $\iff \frac{3}{3^x}+{2.3}^x\le 7$

$\iff {2.3}^{2x}-{7.3}^x+3\le 0.$

Đặt $t=3^x$, $t>0$.

Bất phương trình trở thành $2t^2-7t+3\le 0$

$\iff \frac{1}{2}\le t\le 3$.

$\stackrel{}{\to }\frac{1}{2}\le 3^x\le 3$

$\iff -{\log }_{3}2\le x\le 1$

$\stackrel{}{\to }\begin{array}{l}a=-{\log }_{3}2\\ b=1\end{array}$

$\stackrel{}{\to }P=b+a.{\log }_{2}3=0.$

Câu6.

A.$P=1$.

B.$P=\frac{3}{2}$.

C.$P=2$.

D.$P=\frac{5}{2}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình tương đương với ${3.3}^{2x}-{10.3}^x+3\le 0$.

Đặt $t=3^x$, $t>0$. Bất phương trình trở thành $3t^2-10t+3\le 0$

$\iff \frac{1}{3}\le t\le 3$.

$\stackrel{}{\to }\frac{1}{3}\le 3^x\le 3$

$\iff -1\le x\le 1$

$\stackrel{}{\to }\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}$

$\stackrel{}{\to }P=b-a=2.$

Câu7.

A.$S=\left(0;+\infty \right)$.

B.$S=\left(-\infty ;0\right)$.

C.$S=\left(-\infty ;-1\right)$.

D.$S=\left(0;1\right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0.$

Bất phương trình tương đương với ${\left(x^2+x+1\right)}^x<{\left(x^2+x+1\right)}^0.(*)$

Nếu $x^2+x+1<1$

$\iff x^2+x<0$

$\iff -1<x<0$ thì $\left(*\right)\iff x>0$: không thỏa mãn.

Nếu $x^2+x+1>1$

$\iff x^2+x>0$

$\iff \begin{array}{l}x<-1\\ x>0\end{array}$ thì $\left(*\right)\iff x<0$.

Kết hợp điều kiện $\begin{array}{l}x<-1\\ x>0\end{array}$ ta được $x<-1$.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-\infty ;-1\right)$.

Câu8.

A. Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng.

B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn.

C. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng.

D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn mà hai đoạn này giao nhau bằng rỗng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: $x>0$. Đặt ${\log }_{2}x=t\stackrel{}{\to }x=2^t$.

Bất phương trình

$\iff {\left(2^t\right)}^{t+4}\le 32$

$\iff 2^{t\left(t+4\right)}\le 2^5$

$\iff t^2+4t\le 5$

$\iff -5\le t\le 1$

$\stackrel{}{\to }-5\le {\log }_{2}x\le 1$

$\iff \frac{1}{32}\le x\le 2$

$\stackrel{}{\to }S=\left.\frac{1}{32};2\right].$

Câu9.

A.$P=e.$

B.$P=1.$

C.$P=e^3.$

D. $P=e^4.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: $x>0.$ Ta có đẳng thức $e^{{\ln }^{2}x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{\ln x}=x^{\ln x}$.

Do đó bất phương trình $\iff 2.e^{{\ln }^{2}x}\le 2.e^4$

$\iff {\ln }^{2}x\le 4$

$\iff \left.\ln x\right|\le 2$

$\iff -2\le \ln x\le 2$

$\iff e^{-2}\le x\le e^2$

$\iff \frac{1}{e^2}\le x\le e^2$

$\stackrel{}{\to }\begin{array}{l}a=\frac{1}{e^2}\\ b=e^2\end{array}$

$\stackrel{}{\to }P=ab=1.$

Câu 10.(ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017)Cho hàm số$f\left(x\right)=2^x{.7}^{x^2}$. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A.$f\left(x\right)<1\iff x+x^2{\log }_{2}7<0$.

B.$f\left(x\right)<1\iff x\ln 2+x^2\ln 7<0$.

C.$f\left(x\right)<1\iff x{\log }_{7}2+x^2<0$.

D.$f\left(x\right)<1\iff 1+x{\log }_{2}7<0$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $f\left(x\right)<1\iff 2^x{.7}^{x^2}<1.(*)$

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của (*), ta được ${\log }_2\left(2^x{.7}^{x^2}\right)<{\log }_{2}1$

$\iff {\log }_2{2}^x+{\log }_2{7}^{x^2}<0$

$\iff x+x^2{\log }_{2}7<0$.

Do đó A đúng.

Lấy ln hai vế của (*), ta được $\ln \left(2^x{.7}^{x^2}\right)<\ln 1$

$\iff \ln 2^x+\ln 7^{x^2}<0$

$\iff x\ln 2+x^2\ln 7<0.$

Do đó B đúng.

Lấy logarit cơ số 7 hai vế của (*), ta được ${\log }_7\left(2^x{.7}^{x^2}\right)<{\log }_{7}1$

$\iff {\log }_7{2}^x+{\log }_7{7}^{x^2}<0$

$\iff x{\log }_{7}2+x^2<0$.

Do đó C đúng.

Vì $x\in ℝ$ nên từ kết quả của đáp án A, khẳng định $x+x^2{\log }_{2}7<0$

$\iff x\left(1+x{\log }_{2}7\right)<0$

$\iff 1+x{\log }_{2}7<0$ là sai.