Lý thuyết Phương trình mặt phẳng (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Bài giảng Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

A. Lý thuyết

I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

1. Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì $\overrightarrow{n}$ được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2. Chú ý. Nếu $\overrightarrow{n}$ là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}(k\ne 0)$ cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.

3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\left.\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}(-3;1;-1);$$\overrightarrow{AC}(-2;0;-3)$

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là :

$\overrightarrow{n}=\left.\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]$$=(-3;-7;2)$

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ khác là vecto pháp tuyến là: A(x- x₀ ) + B( y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Ví dụ 1. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là (2; -1; 3).

Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}(2;0;2);$$\overrightarrow{BC}(-4;0;1)$

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

$\overrightarrow{n}=\left.\overrightarrow{AB};BC\right]$$=(0;-10;0)$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:

0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = 0 hay y – 1 = 0.

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu $A\ne 0,B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu $A\ne 0,B\ne 0,C=0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu A = B = 0; $C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; $B\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; $A\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với $abc\ne 0$.

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là: $\frac{x}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{y}{3}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{z}{1}=1$

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

(β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(A;_1{B}_1;C_1);$$\overrightarrow{n_2}(A;_2{B}_2;C_2)$

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

- Chú ý: Để (α) cắt (β)$\iff \overrightarrow{n_1}\ne k.\overrightarrow{n_2}$$\iff (A_1;B_1;C_1)$$\ne k(A_2;B_2;\text{}{C}_2)$

Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.

Lời giải:

Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;-1;2)$

Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:

1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

$\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\\ \iff A_1{A}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{B}_1{B}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_1{C}_2=0\end{array}$

Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: $\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;2)$

Và $\overrightarrow{AB}(1;1;-2)$

Vì $\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{n_P}=\left.\overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{AB}\right]=(0;4;2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 4y – 2z – 2 = 0

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính:

$d(M_0,(\alpha \left)\right)=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:

Ví dụ 7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: $d\left(\right(P);$$\left(Q\right))=d(A;\left(Q\right))$$=\frac{\left.-3-2.0+\text{}2.0-7\right|}{\sqrt{1^2+\text{}{(-2)}^2+2^2}}$$=\frac{10}{3}$

B. Bài tập tự luyện

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết:

a) Đi qua điểm M(0; 1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}$(2; 1; 1) làm vecto pháp tuyến.

b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; -2: 0) và C (0; 0; - 3).

c) Đi qua ba điểm A(1; 1; 2); B(1; 0; 0) và C(0; 2; 1)

Lời giải:

Bài 2. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn:

a) Đi qua M(2; 1; 1) và song song với mặt phẳng (Q): x – 2y + z – 3 = 0

b) Đi qua A(1; 2; 0); B( 0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q); 2x + z – 3 = 0.

Lời giải:

a) Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;1)$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

1( x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 2y + z – 1 = 0.

Bài 3. Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mỗi mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z – 1 = 0;

b) Mặt phẳng (Q): x + z – 4 = 0

c) Mặt phẳng (H): x – 6 = 0.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Câu 1:

A.$6x+2y-3z-1=0.$

B.$6x+2y-3z+18=0.$

C.$6x+2y+3z-18=0.$

D. $6x-2y+3z-1=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$

$\Rightarrow G(\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3})$

$\Rightarrow a=-3,b=-9,c=6$

Do đó $\left(ABC\right):\frac{x}{-3}+\frac{y}{-9}+\frac{z}{6}=1$ hay $\left(ABC\right):6x+2y-3z+18=0$.

Câu 2:

A.$V=\frac{1}{3}$(đvtt).

B.$V=1$(đvtt).

C.$V=2$(đvtt).

D.$V=\frac{2}{3}$(đvtt).

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\overrightarrow{OM}=(1;2;-3),$

$\overrightarrow{ON}=(-1;0;0),$

$\overrightarrow{OP}=(0;4;-3)$

$\Rightarrow V_{OMNP}=\frac{1}{6}[\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}].\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}$

Câu 3:

A.$x+2z-3=0.$

B.$2x-y+z-3=0.$

C.$2x-y+z-11=0.$

D. $x-2z+1=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\overrightarrow{AB}=(4;2;2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha }}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_P}]=(4;0;-8)$

$\Rightarrow \left(\alpha \right):x-2z+1=0$

Câu 4:

A.$\left(\alpha \right):6x-3y+2z=0.$

B.$\left(\alpha \right):6x+3y+2z-6=0.$

C.$\left(\alpha \right):6x+3y+2z-18=0.$

D. $\left(\alpha \right):6x-3y+2z-6=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$

$\Rightarrow \left(ABC\right):\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=1$

hay$6x+3y+2z-6=0$.

Câu 5:

A.$\frac{x}{b}+\frac{y}{c}+\frac{z}{a}=1.$

B.$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}+\frac{z}{a}=1.$

C.$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

D. $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}+\frac{z}{c}=1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích: $\left(ABC\right):\frac{x}{b}=\frac{y}{c}=\frac{z}{a}=1$

Câu 6:

A.$\left(R\right):y+z-2=0.$

B.$\left(R\right):x+y+z-3=0.$

C.$\left(R\right):x+z-2=0.$

D. $\left(R\right):-x+2y-z=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\overrightarrow{n_R}=\left.\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=(0;-2;-2)$

$\Rightarrow \left(R\right):y+z-2=0$

Câu 7:

A.$x+2y+2z-6=0.$

B.$2x+y+2z-6=0.$

C.$2x+2y+z-6=0.$

D. $2x+2y+6z-6=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$

$\Rightarrow G(\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3})$

$\Rightarrow a=3,b=6,c=3$

Ta có$\left(P\right):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1$ hay$\left(P\right):2x+y+2z-6=0$.

Câu 8:

A.$\left(P\right):-x+y-3z+10=0.$

B.$\left(P\right):-x-y+3z-10=0.$

C.$\left(P\right):x-y+3z+10=0.$

D. $\left(P\right):-x+y+3z+10=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;3)$

$\Rightarrow \left(P\right):x-y+3z+10=0$

Câu 9:

A.$x-4y+2z+25=0.$

B.$x-4y+2z-25=0.$

C.$x+4y+2z-25=0.$

D. $x-4y-2z-25=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I(5;5;0)$

Ta có $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{AB}=(2;8;4)$

Mà (P) qua $I\left(5;5;0\right)$ nên $\left(P\right):x+4y+2z-25=0$.

Câu 10:

A.$2x+z+3=0.$

B.$2x-z+3=0.$

C.$-2x-z+3=0.$

D. $4x-4y-z+5=0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\overrightarrow{AB}=(-1;-3;-2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u_{Oy}}]=(2;0;-1)$

$\Rightarrow \left(P\right):2x-z+3=0$