Lý thuyết Nguyên hàm (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

A. Lý thuyết

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

Ví dụ 1.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với $\forall x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$

- Hàm số $F\left(x\right)=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x-3}$là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{-5}{{(x-3)}^2}$ trên khoảng $(-\infty ;3)\cup (3;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$

Vì $F\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x-3}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{-5}{{(x-3)}^2}=f\left(x\right)$ với $\forall x\in (-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$.

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2.

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+C$

Ví dụ 3.

$\int \left(\text{}{4}^x\right)\text{'}dx$$=\int 4^x.\ln 4.dx=4^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)\text{}dx=k.\int f\left(x\right)\text{}dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left.f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2\sin x$ trên khoảng $\left(-\infty ;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$.

Lời giải:

Với $x\in \left(-\infty ;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\int (3x^2+2\sin x)dx\\ =\int 3x^{2}dx+2\int \sin xdx\\ =x^3+\text{\hspace{0.17em}}2.(-c\text{osx) +\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}C }\\ = \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{x}^3-2c\text{osx +\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}C}\end{array}$

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5.

a) Hàm số $y=\sqrt{x}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

$\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

b) Hàm số y = $\frac{1}{x}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;+\infty \right)$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left.x\right|+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Ví dụ 6. Tính:

Lời giải:

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm.

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f\left(u\right(x\left)\right).u\text{'}\left(x\right)dx$$=F\left(u\right(x\left)\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)dx$$=\frac{1}{a}F(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)+\text{\hspace{0.17em}}C$

Ví dụ 7. Tính $\int {(3x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^{3}dx$.

Lời giải:

Ta có: $\int u^{3}du=\frac{u^4}{4}+\text{\hspace{0.17em}}C$ nên theo hệ quả ta có:

$\int {(3x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^{3}dx$$=\frac{{(3x+2)}^4}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8. Tính $\int \sin x.c{\text{os}}^{2}xdx$

Lời giải:

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right).dx$$=u\left(x\right).v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)dx$

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int udv=uv-\int vdu$

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9. Tính

Lời giải:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại.

Lời giải:

a) Ta có: ${\left(\frac{x^4}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}10\right)}^{\text{'}}$$={\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\text{'}}+\text{\hspace{0.17em}}{10}^{\text{'}}=x^3$

Do đó, F(x) = $\frac{x^4}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}10$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³.

b) Ta có:

${\left(2\sqrt{x}-10\right)}^{\text{'}}={\left(2\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}-{10}^{\text{'}}=2.\frac{1}{2\sqrt{x}}-0=\frac{1}{\sqrt{x}}$

Do đó, F(x) = $2\sqrt{x}-10$là một nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

c) Ta có: (e^–2x + 2)’ = – 2e^–2x nên F(x) = e^–2x + 2 là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = – 2e^–2x.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến, tính:

Lời giải:

Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, tính:

a) $\int (x+\text{\hspace{0.17em}}2).\sin xdx$;

b) $\int (x+\text{\hspace{0.17em}}1).\ln xdx$.

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Câu 1.

A.$\frac{C}{\sqrt{1-x}}$

B.$-2\sqrt{1-x}+C$

C.$\frac{2}{\sqrt{1-x}}+C$

D. $\sqrt{1-x}+C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}=-2\sqrt{1-x}+C$

Câu 2.

A.$\frac{1}{3}\left(x^2+2\right)\sqrt{1-x^2}+C$

B. $-\frac{1}{3}\left(x^2+1\right)\sqrt{1-x^2}+C$

C.$\frac{1}{3}\left(x^2+1\right)\sqrt{1-x^2}+C$

D. $-\frac{1}{3}\left(x^2+2\right)\sqrt{1-x^2}+C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có : $I=\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Đặt $t=\sqrt{1-x^2}$

$\Rightarrow t^2=1-x^2$

$\Rightarrow -tdt=xdx$

Khi đó: $I=-\int \frac{(1-t^2)}{t}tdt$

$=\int (t^2-1)dt=\frac{t^3}{3}-t+C$

Thay $t=\sqrt{1-x^2}$ ta được $I=\frac{{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^3}{3}-\sqrt{1-x^2}+C$

$=-\frac{1}{3}\left(x^2+2\right)\sqrt{1-x^2}+C$

Câu 3.

A.$F\left(x\right)=2\sqrt{2\ln x+1}+C$

B. $F\left(x\right)=\sqrt{2\ln x+1}+C$

C.$F\left(x\right)=\frac{1}{4}\sqrt{2\ln x+1}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2\ln x+1}+C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: F(x) = $\int d\left(\sqrt{2\ln x+1}\right)=\sqrt{2\ln x+1}+C$

Câu 4.

A.$\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-\ln \left.x\right|+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln x+C$

C.$\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left.x\right|+C$

D. $\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+\ln x+C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\int \left(x^3-3\text{x}+\frac{1}{x}\right)dx$

$=\frac{x^4}{4}-\frac{3{\text{x}}^2}{2}+\ln \left.x\right|+C$

Câu 5.

A.$\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-x+C}$

B.$\frac{2}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

C.$\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-x}+C$

D. $\frac{1}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \sqrt{3x-1}.dx$

$=\frac{1}{3}.\frac{2}{1+2}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

$=\frac{2}{9}\sqrt{{\left(3x-1\right)}^3}+C$

Câu 6.

A.$F\left(x\right)=\ln \left.x^4-1\right|+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{4}\ln \left.x^4-1\right|+C$

C.$F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left.x^4-1\right|+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{1}{3}\ln \left.x^4-1\right|+C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{x^3}{x^4-1}dx$

$=\frac{1}{4}\int \frac{d(x^4-1)}{x^4-1}$

$=\frac{1}{4}\ln \left.x^4-1\right|+C$

Câu 7.

A.$-\frac{1}{3}c\text{os}3x$

B.$-3c\text{os}3x$

C.$3c\text{os}3x$

D. $\frac{1}{3}c\text{os}3x$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

∫sin3xdx= $-\frac{1}{3}$cos3x+C

Câu 8.

A.$\int f\left(x\right)dx=\frac{2x^3}{3}-\frac{5}{x}+C$

B. $\int f\left(x\right)dx=2x^3-\frac{5}{x}+C$

C.$\int f\left(x\right)dx=\frac{2x^3}{3}+\frac{5}{x}+C$

D. $\int f\left(x\right)dx=\frac{2x^3}{3}+5\ln x^2+C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\int \frac{5+2x^4}{x^2}dx$

$=\int \left(\frac{5}{x^2}+2x^2\right)dx$

$=\frac{2x^3}{3}-\frac{5}{x}+C$

Câu 9.

A.$F\left(x\right)=\frac{1}{3}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^3$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^2$

C.$F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^2$

D. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^2$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có : $I=\int x\sqrt{1+x^2}dx$

Đặt $t=\sqrt{1+x^2}$

$\Rightarrow t^2=1+x^2$

$\Rightarrow tdt=xdx$

Khi đó: $I=\int t.tdt=\frac{t^3}{3}+C$

Thay $t=\sqrt{1+x^2}$ta được $I=\frac{{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}^3}{3}+C$

Câu 10.

A.$-\cos 2x+C$

B.$-\frac{1}{2}\cos 2x+C$

C.$\cos 2x+C$

D. $\frac{1}{2}\cos 2x+C$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\int \sin 2\mathcal{x}d\mathcal{x}=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$