Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài giảng Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i² = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (–i)² = –1.

Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn.

Căn bậc hai của –16 là $\pm 4i$ vì ${\left(\pm 4i\right)}^2=-16$

Căn bậc hai của –5 là $\pm \sqrt{5}i$ vì ${\left(\pm \sqrt{5}i\right)}^2=-5$

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là $\pm i\sqrt{\left.a\right|}$.

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với a; b ; c$\in ℝ;a\ne 0$.

Xét biệt số ∆ = b² – 4ac của phương trình. Ta thấy:

Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực $x=\frac{-b}{2a}$.

Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là $\pm \sqrt{\Delta }$ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là $\pm i\sqrt{\left.\Delta \right|}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left.\Delta \right|}}{2a}$.

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n $(n\ge 1)$:

a₀.xⁿ + a₁.x^{n – 1} + ….+ a_n–1.x + a_n = 0

Trong đó; a₀ ; a₁;…..; a_n$\in ℂ;a_0\ne 0$đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: – 10; – 15; – 73; –144.

Lời giải:

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 2z² + 4z + 3 = 0;

b) 5z² – 3z + 1 = 0;

c) –z² – 4z – 8 = 0.

Lời giải:

a) 2z² + 4z + 3 = 0 có a = 2; b = 4; c = 3

∆ = 4² – 4. 2.3 = – 8 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{-4\pm i\sqrt{8}}{2.2}$$=-1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.i$

b) 5z² – 3z + 1 = 0 có a = 5; b = –3; c = 1

∆ = (–3)² – 4. 5.1 = –11 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{3\pm i\sqrt{11}}{2.5}$$=\frac{3}{10}\pm \frac{\sqrt{11}}{10}i$

c) – z² – 4z – 8 = 0 có a = –1; b = – 4; c = –8

∆ = (– 4)² – 4.(–1).(–8) = 16 – 32 = –16 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{4\pm 4i}{2.(-1)}$$=-2\pm 2i$

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z⁴ + 3z² + 2 = 0;

b) z⁴ – 3z² – 18 = 0.

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\left.i;-i;i\sqrt{2};-i\sqrt{2}\right\}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là là $S=\left.\pm i\sqrt{3};\pm \sqrt{6}\right\}$

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Câu 1:

A.$3\sqrt{2}$

B.$2\sqrt{3}$

C.3

D. $\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $4{\text{z}}^2-4\text{z}+3=0$

$\iff z=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}i$

$\Rightarrow \left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\sqrt{3}$

Câu 2:

A.${\text{z}}^2+2\text{z}+3=0$

B. ${\text{z}}^2-2\text{z}-3=0$

C.${\text{z}}^2-2z+3=0$

D.${\text{z}}^2+2\text{z}-3=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có$\begin{array}{l}\left(1+\sqrt{2}i\right)+\left(1-\sqrt{2}i\right)=2\\ \left(1+\sqrt{2}i\right)\left(1-\sqrt{2}i\right)=3\end{array}$

$\Rightarrow z^2-2z+3=0.$

Câu 3:

A.$P=\frac{\sqrt{3}}{3}$

B.$P=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

C.$P=\frac{2}{3}$

D.$P=\frac{\sqrt{14}}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$3z^2-z+1=0$

$\iff z=\frac{1}{6}\pm \frac{\sqrt{11}}{6}i$

$\Rightarrow P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Câu 4:

A.$P=\frac{1}{6}$

B.$P=\frac{1}{12}$

C.$P=-\frac{1}{6}$

D.$P=6$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có$\begin{array}{l}{z}_1+z_2=1\\ z_1{z}_2=6\end{array}$

$\Rightarrow P=\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$

$=\frac{z_2+z_2}{z_1{z}_2}=\frac{1}{6}.$

Câu 5:

A.$\sqrt{2}$

B.2

C.8

D.4

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:$z^2+4=0$

$\iff z=\pm 2i$

$\Rightarrow M(0;2),N(0;-2)$

$\Rightarrow T=OM+ON=4.$

Câu 6:

A.$T=4$

B.$T=2\sqrt{3}$

C.$T=4+2\sqrt{3}$

D.$T=2+2\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$z^4-z^2-12=0$

$\iff [\begin{array}{l}{z}^2=4\\ z^2=-3\end{array}\iff [\begin{array}{l}z=\pm 2\\ z=\pm \sqrt{3}i\end{array}$

$\Rightarrow T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|+\left|z_4\right|$

$=4+2\sqrt{3}.$

Câu 7:

A.$M_1\left(\frac{1}{2};2\right)$

B.$M_2\left(-\frac{1}{2};2\right)$

C.$M_3\left(-\frac{1}{4};1\right)$

D.$M_4\left(\frac{1}{4};1\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $4{\text{z}}^2-16\text{z}+17=0$

$\iff z=2\pm \frac{1}{2}i$

$\Rightarrow z_0=2+\frac{1}{2}i$

$\Rightarrow w=i{z}_0=-\frac{1}{2}+2i$

$\Rightarrow M(-\frac{1}{2};2).$

Câu 8:

A.1

B.2

C.-1

D.0

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:$\begin{array}{l}{z}_1+z_2=-1\\ z_1{z}_2=1\end{array}$

$\Rightarrow P=z_1^2+z_2^2+z_1{z}_2$

$={(z_1+z_2)}^2-z_1{z}_2=0.$

Câu 9:(Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017)Gọi${\text{z}}_1,z_2$ nghiệm của phương trình${\text{z}}^2+4\text{z}+5=0$ .Tìm$w={\left(1+z_1\right)}^{100}+{\left(1+z_2\right)}^{100}$ .

A.$w=2^{50}i$

B.$w=-2^{51}$

C.$w=2^{51}$

D.$w=-2^{50}i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:$z^2+4\text{z}+5=0\iff z=-2\pm i$

Do đó$w={\left(1+z_1\right)}^{100}+{\left(1+z_2\right)}^{100}$

$={(1+i)}^{100}+{(1-i)}^{100}$

$={\left(2i\right)}^{50}+{(-2i)}^{50}$

$=-{2.2}^{50}=-2^{51}.$

Câu 10:

A.$\pm 4\sqrt{3}i$

B.$\pm 2\sqrt{3}i$

C.$\pm 2\sqrt{2}i$

D.$\pm 3\sqrt{2}i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\sqrt{-12}=\sqrt{12i^2}=\pm 2\sqrt{3}i$