Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

Bài giảng Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

A. Lý thuyết

I. Phương trình mũ

1. Phương trình mũ cơ bản

– Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = b (a > 0; a ≠ 1).

Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

Với b > 0 ta có: a^x = b$\iff$x = log_ab.

Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

– Minh họa bằng đồ thị

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = a^x và y = b là nghiệm của phương trình a^x = b.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.

Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.

Nếu b > 0 ta có hai đồ thị như hình dưới đây. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.

Kết luận:

– Ví dụ 1. Giải phương trình 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

Lời giải:

Ta có: 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

$\iff$2.2^x + 4.2^x = 16

$\iff$6.2^x = 16

$\iff 2^x=\frac{8}{3}\iff x={\log }_2\frac{8}{3}$

Vậy $x={\log }_2\frac{8}{3}$.

2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số.

– Ví dụ 2. Giải phương trình $3^{x+\text{\hspace{0.17em}}2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{6-2x}$

Lời giải:

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 3. Giải phương trình 4^x – 5. 2^x + 6 = 0

Lời giải:

Đặt t = 2^x (với t > 0)

Phương trình đã cho trở thành: t² – 5t + 6 = 0

$\iff \begin{array}{c}t=2\\ t=3\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}{2}^x=2\Rightarrow x=1\\ 2^x=3\Rightarrow x={\log }_{2}3\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = log₂3.

c) Logarit hóa.

– Ví dụ 4. Giải phương trình: $3^x.5^{x^2}=1$

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = – log₅3.

II. Phương trình logarit

– Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

– Ví dụ 5. Các phương trình ${\log }_{2}x=4;{\log }_3^{2}x+2{\log }_{4}x=0$… đều là phương trình logarit.

1. Phương trình logarit cơ bản

– Phương trình logarit cơ bản có dạng: log_ax = b (a > 0; a ≠ 1).

Theo định nghĩa logarit ta có:

log_ax = b$\iff$x = a^b

– Minh họa bằng đồ thị

Vẽ đồ thị hàm số y = log_a x và đường thẳng b trên cùng một hệ tọa độ.

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = log_ax và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b$\in R$

Kết luận: Phương trình log_ax = b (a > 0; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = a^b với mọi b.

2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản.

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 6. Giải phương trình log₃x + log₉x = 6.

Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 81.

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 7. Giải phương trình ${\log }_5^{2}x+\text{}3{\log }_5^{}x=0$

Lời giải:

Đặt t =log₅x, phương trình đã cho trở thành:

t² + 3t = 0 nên t = 0 hoặc t = –3.

Với t = 0 thì log₅x = 0 nên x = 1.

Với t = –3 thì log₅x = –3 nên x = 5^–3.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 5^–3.

c) Mũ hóa

– Ví dụ 8. Giải phương trình: log₃(90 – 3^x) = x + 2

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là 90 – 3^x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với:

90 – 3^x = 3^{x + 2} hay 90 – 3^x = 9.3^x

$\iff$10.3^x = 90

$\iff$3^x = 9 nên x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình mũ.

a) $3^{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x-1}=9$;

b) 2^{x+ 1} + 2^{x+ 2} + 2^{x+ 3} = 56;

c) 25^x – 5^{x+ 1} + 6 = 0.

Lời giải:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 và x = –3.

b) 2^{x + 1} + 2^{x + 2} + 2^{x + 3} = 56.

$\iff$2. 2^x + 4.2^x + 8.2^x = 56

$\iff$14. 2^x = 56

$\iff$2^x = 4

$\iff$x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

c) 25^x – 5^{x+ 1} + 6 = 0

$\iff$5^2x – 5. 5^x + 6 = 0

Đặt t = 5^x ( t > 0) phương trình trên trở thành: t² – 5t + 6 = 0

$\iff \begin{array}{c}t=2\\ t=3\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}{5}^x=2\\ 5^x=3\end{array}\iff \begin{array}{c}x={\log }_{5}2\\ x={\log }_{5}3\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x={\log }_{5}2;x={\log }_{5}3.$

Bài 2. Giải phương trình logarit

a) log₇(10 – x) = log₇(x – 4);

b) log₃(x + 2) – log₃(4 – x) = 2;

c) ${\log }_2^{2}x-7{\log }_{2}x+\text{\hspace{0.17em}}6=0$;

d) log₃(3^x – 12) = 2x + 2.

Lời giải:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 7.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3,4.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 và x = 64.

d) log₃(3^x – 12) = 2x + 2

Điều kiện: 3^x – 12 > 0

Phương trình đã cho tương đương:

3^x – 12 = 3^{2x + 2} hay 9.3^2x – 3^x + 12 = 0 (*)

Đặt t = 3^x ( t > 0), phương trình (*) trở thành: 9t² – t + 12 = 0

Phương trình trên vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình Logarit

Câu 1.

A.$\frac{-8}{5}$

B. 3

C.$\frac{8}{5}$

D.$\frac{12}{5}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\iff 2^{4x+10}=2^{2-x}$

$\iff 4x+10=2-x$

$\iff x=\frac{-8}{5}$

Câu 2.

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\iff x^4-3x^2-4=0$

$\iff x^2=4\iff x=\pm 2$

Tổng các nghiệm sẽ bằng 0

Câu 3.

A. $x=-3$

B. $x=-2$

C. $x=2$

D. $x=3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$4^x=8^{x-1}$

$\iff 2^{2x}=2^{3\left(x-1\right)}$

$\iff 2x=3\left(x-1\right)$

$\iff x=3$

Câu 4.

A.1.

B.2

C.3

D.4

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình

$2^{x-1}-2^{x^2-x}={\left(x-1\right)}^2$

$\iff 2^{x-1}+\left(x-1\right)=2^{x^2-x}+\left(x^2-x\right).$$\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=2^t+t$ trên $ℝ,$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=2^t\ln 2+1>0,\forall t\in ℝ.$

Suy ra hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $ℝ.$

Nhận thấy $\left(*\right)$ có dạng $f\left(x-1\right)=f\left(x^2-x\right)$

$\iff x-1=x^2-x$

$\iff {\left(x-1\right)}^2=0\iff x=1.$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x=1.$

Câu 5.

A. 0

B. 1

C. 2

D. Nhiều hơn 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 6.

A. $x=1\pm 2\sqrt{17}$

B. $x=1+2\sqrt{17}$

C. $x=33$

D. $x=5$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: $\begin{array}{c}x+1>0\\ x-3>0\end{array}\iff x>3$

Ta có:

${\log }_4\left(x+1\right)+{\log }_4\left(x-3\right)=3$

$\iff {\log }_4\left(x+1\right)\left(x-3\right)=3$

$\iff \left(x+1\right)\left(x-3\right)=4^3$

$\iff x^2-2x-67=0$

$=x=1\pm 2\sqrt{17}$

So sánh với điều kiện nghiệm của pt là $x=1\pm 2\sqrt{17}$

Câu 7.

A. 6

B. 26

C. 126

D. 216

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Điều kiện: $x>\frac{1}{2}$

Phương trình đã cho

$\iff {\log }_{2}x.\left.{\log }_3\left(2x-1\right)-2\right]=0$

$\iff \begin{array}{c}{\log }_{2}x=0\\ {\log }_3\left(2x-1\right)=2\end{array}$

$\iff \begin{array}{c}x=1\\ 2x-1=9\end{array}$

$\iff \begin{array}{c}x=1\left(TM\right)\\ x=5\left(TM\right)\end{array}$

$\Rightarrow 1^3+5^3=126$

Câu 8.

A.$x=\pi .$

B.$x=\frac{\pi }{4}.$

C.$x=\frac{\pi }{2}.$

D. $x=\frac{3\pi }{4}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình

Xét hàm số $f\left(t\right)={2017}^t+t$ trên $ℝ,$ ta có $f\text{'}\left(t\right)={2017}^t\ln 2017+1>0,$$\forall t\in ℝ.$

Suy ra hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $ℝ.$

Nhận thấy $\left(*\right)$ có dạng $f\left({\sin }^{2}x\right)=f\left({\cos }^{2}x\right)$

$\iff {\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$

$\iff {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=0$

$\iff \cos 2x=0$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$

Vì $x\in \left.0;\pi \right]$

$\stackrel{}{\to }x=\left.\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right\}$

$\stackrel{}{\to }T=\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi .$

Câu 9.

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình tương đương với $4^{x^2+x}+{2.2}^{x^2+x}-3=0$.

Đặt $t=2^{x^2+x}$, $t>0$. Phương trình trở thành $t^2+2t-3=0$

$\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=-3\left(loai\right)\end{array}$

Với $t=1$, ta được $2^{x^2+x}=1$

$\iff x^2+x=0$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}$

Vậy chỉ có duy nhất nghiệm $x=0$ là nghiệm không âm.

Câu 10.

A. $\left.\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right\}$

B. $\left.2;41\right\}$

C. $\left.1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right\}$

D. $\left.1+\sqrt{2}\right\}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện: $\begin{array}{c}{x}^2-1>0\\ 2x>0\end{array}\iff x>1$

Với điều kiện này thì phương trình đã cho tương đương với

$x^2-1=2x$

$\iff x^2-2x-1=0$

$\iff \begin{array}{c}x=1+\sqrt{2}\left(tm\right)\\ x=1-\sqrt{2}\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\left.1+\sqrt{2}\right\}$