Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 57Tập 1

Bài 4 trang 57 Toán 12 Tập 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và tìm tọa độ của các điểm A, B, C, S.

Lời giải:

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là$\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OC},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OE},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{OH}$với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì$∆$ABC đều và AO$\perp$BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và$OA=\sqrt{3}$.

Vì$\overrightarrow{OB}$và$\overrightarrow{i}$ngược hướng và OB = 1 nên$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{i}$. Suy ra B(−1; 0; 0).

Vì$\overrightarrow{OC}$và$\overrightarrow{i}$cùng hướng và OC = 1 nên$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{i}$. Suy ra C(1; 0; 0).

Vì$\overrightarrow{OA}$và$\overrightarrow{j}$cùng hướng và$OA=\sqrt{3}$nên$\overrightarrow{OA}=\sqrt{3}\overrightarrow{j}$. Suy ra$A\left(0;\sqrt{3};0\right)$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OH}=\sqrt{3}\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Suy ra$S\left(0;\sqrt{3};1\right)$.

Bài 5 trang 57 Toán 12 Tập 1:Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ và $OA=OS=4$ (Hình 15). Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét$∆$OAB vuông tại O, có$OB=\sqrt{A{B}^2-O{A}^2}=\sqrt{25-16}=3$.

Vì$\overrightarrow{OB}$và$\overrightarrow{i}$cùng hướng và OB = 3 nên$\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}$.

Vì$\overrightarrow{OA}$và$\overrightarrow{j}$cùng hướng và OA = 4 nên$\overrightarrow{OA}=-4\overrightarrow{j}$.

Ta có$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$. Do đó$\overrightarrow{AB}=\left(3;4;0\right)$.

Có AC = 2OA = 8 mà$\overrightarrow{AC}$và$\overrightarrow{j}$cùng hướng nên$\overrightarrow{AC}=8\overrightarrow{j}$. Do đó$\overrightarrow{AC}=\left(0;8;0\right)$.

Có$\overrightarrow{OS}$và$\overrightarrow{k}$cùng hướng và OS = 4 nên$\overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{k}$.

Có$\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OS}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{k}$. Do đó$\overrightarrow{SB}=\left(3;0;-4\right)$.

Lại có$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}=\left(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\right)-\left(3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{k}\right)=4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$. Do đó$\overrightarrow{AS}=\left(0;4;4\right)$.

Vì M là trung điểm của SC nên$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC}\right)$ $=\frac{1}{2}\left(4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}+8\overrightarrow{j}\right)=6\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$.

Do đó$\overrightarrow{AM}=\left(0;6;2\right)$.

Bài 6 trang 57 Toán 12 Tập 1:Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz như Hình 16 với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Tìm tọa độ của vectơ$\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

Vì$\overrightarrow{OA}$và$\overrightarrow{k}$cùng hướng và OA = 10 nên$\overrightarrow{OA}=10\overrightarrow{k}$.

Xét$∆$OBH vuông tại H, có BH = OB.sin30° = 7,5 m.

OH = OB.cos30° =$\frac{15\sqrt{3}}{2}$m.

Vì$\overrightarrow{OH}$và$\overrightarrow{j}$cùng hướng và$OH=\frac{15\sqrt{3}}{2}$nên$\overrightarrow{OH}=\frac{15\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}$.

Có BH = OK = 7,5.

Vì$\overrightarrow{OK}$và$\overrightarrow{i}$cùng hướng và OK = 7,5 nên$\overrightarrow{OK}=7,5\overrightarrow{i}$.

Vì$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OA}=7,5\overrightarrow{i}+\frac{15\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}-10\overrightarrow{k}$

Vậy$\overrightarrow{AB}=\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10\right)$ .

Bài 7 trang 57 Toán 12 Tập 1:Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình 17. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50, $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OH}\right)=64°$, $\left(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM}\right)=48°$. Tìm tọa độ của điểm M.

Lời giải:

Giả sử M(x; y; z).

H $\in$ (Oxy) $\Rightarrow$ H(x; y; 0).

Vì OBHA là hình bình hành nên BH = OA.

Vì OCMH là hình bình hành nên OC = MH.

Xét $∆$MHO vuông tại H, có OH = OM.cos48° = 50. cos48° ≈ 33,46.

MH = OM.sin48° = 50. sin48° ≈ 37,16.

Xét $∆$OAH vuông tại A, có BH = OA = OH.cos64° = 33,46. cos64° ≈ 14,67.

Xét $∆$OBH vuông tại B, có $OB=\sqrt{O{H}^2-B{H}^2}=\sqrt{33,{46}^2-14,{67}^2}\approx 30,07$ .

Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng và OA = 14,67 nên $\overrightarrow{OA}=14,67\overrightarrow{i}$ .

Vì $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{j}$ cùng hướng và OB = 30,07 nên $\overrightarrow{OB}=30,07\overrightarrow{j}$ .

Vì $\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{k}$ cùng hướng và OC = 37,16 nên $\overrightarrow{OC}=37,16\overrightarrow{k}$ .

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=14,67\overrightarrow{i}+30,07\overrightarrow{j}+27,16\overrightarrow{k}$

Vậy M(14,67; 30,07; 27,16).