Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 5 trang 57 Toán 12 Tập 1:Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ và $OA=OS=4$ (Hình 15). Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét$∆$OAB vuông tại O, có$OB=\sqrt{A{B}^2-O{A}^2}=\sqrt{25-16}=3$.

Vì$\overrightarrow{OB}$và$\overrightarrow{i}$cùng hướng và OB = 3 nên$\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}$.

Vì$\overrightarrow{OA}$và$\overrightarrow{j}$cùng hướng và OA = 4 nên$\overrightarrow{OA}=-4\overrightarrow{j}$.

Ta có$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$. Do đó$\overrightarrow{AB}=\left(3;4;0\right)$.

Có AC = 2OA = 8 mà$\overrightarrow{AC}$và$\overrightarrow{j}$cùng hướng nên$\overrightarrow{AC}=8\overrightarrow{j}$. Do đó$\overrightarrow{AC}=\left(0;8;0\right)$.

Có$\overrightarrow{OS}$và$\overrightarrow{k}$cùng hướng và OS = 4 nên$\overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{k}$.

Có$\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OS}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{k}$. Do đó$\overrightarrow{SB}=\left(3;0;-4\right)$.

Lại có$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}=\left(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\right)-\left(3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{k}\right)=4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$. Do đó$\overrightarrow{AS}=\left(0;4;4\right)$.

Vì M là trung điểm của SC nên$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC}\right)$ $=\frac{1}{2}\left(4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}+8\overrightarrow{j}\right)=6\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$.

Do đó$\overrightarrow{AM}=\left(0;6;2\right)$.