Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 3 trang 56 Toán 12 Tập 1:Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2 (Hình 13).

a) Xác định một hệ tọa độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm A, B, C, S.

Lời giải:

a)

Các vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$với độ dài của$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$lần lượt bằng$\frac{1}{3}BC,\frac{1}{2}BA,\frac{1}{2}SA$.

b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên B(0; 0; 0).

Vì$\overrightarrow{j}$và$\overrightarrow{BA}$cùng hướng và BA = 2 nên$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{j}$. Suy ra A(0; 2; 0).

Vì$\overrightarrow{i}$và$\overrightarrow{BC}$cùng hướng và BC = 3 nên$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{i}$. Suy ra C(3; 0; 0).

Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz.

Ta có BE = AS = 2.

Vì$\overrightarrow{k}$và$\overrightarrow{BE}$cùng hướng và BE = 2 nên$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{k}$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$. Suy ra S(0; 2; 2).