Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như Hình 12, cho biết M là vị trí của máy bay

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Vận dụng 2 trang 56 Toán 12 Tập 1:Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như Hình 12, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, $\widehat{NOB}=32°,\widehat{MOC}=65°$ . Tìm tọa độ điểm M.

Lời giải:

Vì N$\in$(Oxy) nên N(x; y; 0).

Xét$∆$NBO vuông tại B, ta có:$\tan 32°=\frac{NB}{OB}=\frac{x}{y}$và x²+ y²= ON²(1).

Xét $∆$OMC có ON = MC = OM.sin65° = 14. sin65° ≈ 12,67 (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ: $\begin{array}{l}\frac{x}{y}=\tan 32°\\ x^2+y^2=12,{67}^2\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x\approx 0,62y\\ {\left(0,62y\right)}^2+y^2=12,{67}^2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x\approx 6,68\\ y\approx 10,77\end{array}$

Suy ra N(6,68; 10,77; 0). Do đó $\overrightarrow{ON}=6,68\overrightarrow{i}+10,77\overrightarrow{j}$

Xét$∆$OMC vuông tại C, ta có:$OC=OM.\cos 65°=14.\cos 65°\approx 5,92.$

Suy ra C(0; 0; 5,92). Do đó$\overrightarrow{OC}=5,92\overrightarrow{k}$.

Ta có$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OC}=6,68\overrightarrow{i}+10,77\overrightarrow{j}+5,92\overrightarrow{k}$.

Vậy M(6,68; 10,77; 5,92).