Giải Toán 12 trang 56 Tập 1

Giải Toán 12 trang 56Tập 1

Thực hành 3 trang 56 Toán 12 Tập 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3 (Hình 11).

a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Trong hệ tọa độ nói trên, tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Lời giải:

a)

Ba vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ lần lượt là $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ với độ dài của $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt bằng $\frac{1}{2}AB,\frac{1}{2}AD,\frac{1}{3}AS$ .

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{i};\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{j};\overrightarrow{AS}=3\overrightarrow{k}$ .

Do đó $\overrightarrow{AB}=\left(2;0;0\right)$ , $\overrightarrow{AD}=\left(0;2;0\right)$ , $\overrightarrow{AS}=\left(0;0;3\right)$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$ .

Vì M là trung điểm của SC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}\right)=\frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}\right)$ $=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\frac{3}{2}\overrightarrow{k}$ .

Do đó $\overrightarrow{AM}=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)$.

Vận dụng 2 trang 56 Toán 12 Tập 1:Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như Hình 12, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, $\widehat{NOB}=32°,\widehat{MOC}=65°$ . Tìm tọa độ điểm M.

Lời giải:

Vì N$\in$(Oxy) nên N(x; y; 0).

Xét$∆$NBO vuông tại B, ta có:$\tan 32°=\frac{NB}{OB}=\frac{x}{y}$và x²+ y²= ON²(1).

Xét $∆$OMC có ON = MC = OM.sin65° = 14. sin65° ≈ 12,67 (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ: $\begin{array}{l}\frac{x}{y}=\tan 32°\\ x^2+y^2=12,{67}^2\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x\approx 0,62y\\ {\left(0,62y\right)}^2+y^2=12,{67}^2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x\approx 6,68\\ y\approx 10,77\end{array}$

Suy ra N(6,68; 10,77; 0). Do đó $\overrightarrow{ON}=6,68\overrightarrow{i}+10,77\overrightarrow{j}$

Xét$∆$OMC vuông tại C, ta có:$OC=OM.\cos 65°=14.\cos 65°\approx 5,92.$

Suy ra C(0; 0; 5,92). Do đó$\overrightarrow{OC}=5,92\overrightarrow{k}$.

Ta có$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OC}=6,68\overrightarrow{i}+10,77\overrightarrow{j}+5,92\overrightarrow{k}$.

Vậy M(6,68; 10,77; 5,92).

Bài tập

Bài 1 trang 56 Toán 12 Tập 1:Trong không gian Oxyz, biết

a) $\overrightarrow{a}=5\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k},\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{k}$ . Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

b) $\overrightarrow{OM}=4\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k},\overrightarrow{ON}=8\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ điểm M, N.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}=\left(5;7;-3\right),\overrightarrow{b}=\left(2;0;4\right)$.

b) $M=\left(4;-1;3\right),N\left(8;-5;0\right)$ .

Bài 2 trang 56 Toán 12 Tập 1:Trong không gian Oxyz, biết:

a) $\overrightarrow{a}=\left(-2;5;-7\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(4;0;1\right)$. Tính $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

b) $A\left(7;-2;1\right),B\left(0;5;0\right)$ . Tính $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$ .

b) $A\left(7;-2;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=7\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k},B\left(0;5;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{j}$.

Bài 3 trang 56 Toán 12 Tập 1:Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2 (Hình 13).

a) Xác định một hệ tọa độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm A, B, C, S.

Lời giải:

a)

Các vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$với độ dài của$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$lần lượt bằng$\frac{1}{3}BC,\frac{1}{2}BA,\frac{1}{2}SA$.

b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên B(0; 0; 0).

Vì$\overrightarrow{j}$và$\overrightarrow{BA}$cùng hướng và BA = 2 nên$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{j}$. Suy ra A(0; 2; 0).

Vì$\overrightarrow{i}$và$\overrightarrow{BC}$cùng hướng và BC = 3 nên$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{i}$. Suy ra C(3; 0; 0).

Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz.

Ta có BE = AS = 2.

Vì$\overrightarrow{k}$và$\overrightarrow{BE}$cùng hướng và BE = 2 nên$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{k}$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$. Suy ra S(0; 2; 2).