Bài 7 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 7 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{KA},\overrightarrow{GH},\overrightarrow{AG}$.

Lời giải:

Do $\overrightarrow{K\text{A}}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$nên K là trung điểm của AC.

Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho $\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BK}$.

Do $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{H\text{D}}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho $\overrightarrow{DH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DK}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

$\Rightarrow$AC² = a² + a²

$\Rightarrow$AC² = 2a²

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{2}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do K là trung điểm của AC nên AK = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{\sqrt{2}a}{2}$.

Do đó $\left.\overrightarrow{K\text{A}}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{2}$.

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.

Do đó BD = $\sqrt{2}$a.

Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = $\frac{1}{3}$DK = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{6}$BD = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = $\frac{1}{3}$BK = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{6}$BD = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$.

Do đó HK + KG = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$+ $\frac{\sqrt{2}a}{6}$hay HG = $\frac{\sqrt{2}a}{3}$.

Do đó $\left.\overrightarrow{GH}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{3}$.

Do ABCD là hình vuông là K là giao điểm hai đường chéo nên AC $\perp$BD tại K.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AKG vuông tại K có:

AG² = AK² + KG²

$\Rightarrow$AG² = ${\left(\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}a}{6}\right)}^2$

$\Rightarrow$AG² = $\frac{5{\text{a}}^2}{9}$

$\Rightarrow$AG = $\frac{\sqrt{5}a}{3}$(do AG là độ dài đoạn thẳng nên AG > 0)

Do đó $\left.\overrightarrow{AG}\right|=\frac{\sqrt{5}a}{3}$.

Vậy $\left.\overrightarrow{K\text{A}}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{2}$; $\left.\overrightarrow{GH}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{3}$; $\left.\overrightarrow{AG}\right|=\frac{\sqrt{5}a}{3}$.