Bài 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$;

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{BA}$và $\overrightarrow{DC}$ngược hướng và $\left.\overrightarrow{BA}\right|=\left.\overrightarrow{DC}\right|$nên $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{BA}$.

Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$.

b) Do O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do O là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$.

Do O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}$.

$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}$.

Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{M\text{D}}$.