Cho hai hàm số viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số

Giải Toán 11 Ôn tập chương 5

Bài tập 9 trang 177 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Lời giải:

$C_1:y=f\left(x\right)=\frac{1}{x\sqrt{2}}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{x^2\sqrt{2}}$

$C_2:y=g\left(x\right)=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x}{\sqrt{2}}=x\sqrt{2}$

Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là:

$\frac{1}{x\sqrt{2}}=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\iff \begin{array}{l}x\ne 0\\ x^3=1\end{array}\iff x=1$

$\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy giao điểm của (C₁) và (C₂)là $A\left(1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Phương trình tiếp tuyến của (C₁) tại điểm A là:

$\begin{array}{l}y-\frac{\sqrt{2}}{2}=f^{\text{'}}\left(1\right)(x-1)\\ \iff y-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)\\ \iff y=-\frac{x}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\end{array}$

Tiếp tuyến này có hệ số góc $k_1=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

Phương trình tiếp tuyến của (C₂) tại điểm A là:

$\begin{array}{l}y-\frac{\sqrt{2}}{2}=g^{\text{'}}\left(1\right)(x-1)\\ \iff y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(x-1)\\ \iff y=x\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Tiếp tuyến này có hệ số góc $k_2=\sqrt{2}$

Ta có: $k_1.k_2=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).\left(\sqrt{2}\right)=-1$

$\Rightarrow$ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau

$\Rightarrow$ Góc giữa hai tiếp tuyến bằng 90^o.