Bài 7.22 trang 59 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

Bài 7.22 trang 59 Toán 11 Tập 2:Cho hình chópS.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và (SAD) $\perp$(ABCD).

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữaBC và (SAD).

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD.

Lời giải:

a) Kẻ SE $\perp$AD tại E.

Vì (SAD) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\cap$ (ABCD) = AD mà SE $\perp$ AD nên SE $\perp$ (ABCD).

Vì tam giác SAD là tam giác đều cạnh a nên SE = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy chiều cao của hình chóp bằng$\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

b) Vì ABCD là hình vuông nên BC // AD, suy ra BC // (SAD).

Khi đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)).

Vì ABCD là hình vuông nên AB $\perp$ AD mà SE $\perp$ (ABCD) nên SE $\perp$ AB.

Vì AB $\perp$ AD và SE $\perp$ AB nên AB $\perp$ (SAD).

Do đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = AB = a.

c) Kẻ AF $\perp$ SD tại F, mà AB $\perp$ (SAD) nên AB $\perp$ AF.

Vì AF $\perp$ SD và AB $\perp$ AF nên AF là đường vuông góc chung của AB và SD.

Vì tam giác SAD đều có AF là đường cao nên AF = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy d(AB, SD) = AF = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .