Anonymous

Xét tính tăng, giảm của các dãy số

- asked 6 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video Giải Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết:

a) $u_{n} = \frac{1}{n} - 2$

b) $u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$

c) u_n = (- 1)ⁿ(2ⁿ + 1)

d) $u_{n} = \frac{2 n + 1}{5 n + 2}$

Lời giải:

a) Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - 2 - \frac{1}{n} + 2 = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} = \frac{- 1}{n (n + 1)} < 0 u_{n + 1} < u_{n}, \forall n \in ℕ *$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Cách khác:

Với mọi $n \in ℕ *$ ta có:

$u_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} - 2 < \frac{1}{n} - 2 < u_{n}$

Do đó (u_n) là dãy số giảm.

b) Xét hiệu

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1 - 1}{n + 1 + 1} - \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n}{n + 2} - \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n (n + 1) - (n - 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{n^{2} + n - (n^{2} - n + 2 n - 2)}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{n^{2} + n - (n^{2} + n - 2)}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{n^{2} + n - n^{2} - n + 2}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{2}{(n + 1) (n + 2)} > 0$

Suy ra $u_{n + 1} > u_{n}, \forall n \in ℕ$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Cách khác:

Với mọi $n \in ℕ *$ ta có:

$u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{n + 1 - 2}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1} u_{n + 1} = 1 - \frac{1}{(n + 1) + 1} = 1 - \frac{1}{n + 2}$

Ta có:

$\frac{1}{n + 2} < \frac{2}{n + 1} \Rightarrow - \frac{1}{n + 2} > - \frac{2}{n + 1} \Rightarrow 1 - \frac{1}{n + 2} > 1 - \frac{2}{n + 1}$

Suy ra $u_{n + 1} > u_{n}, \forall n \in ℕ *$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

c) Ta có: u₁ = -3; u₂ = 5; u₃ = - 9

suy ra $u_{1} < u_{2} > u_{3}$

Nên (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

d) Với $n \in ℕ *, u_{n} \neq 0$ ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2 n + 3}{5 n + 7} \cdot \frac{5 n + 2}{2 n + 1} = \frac{10 n^{2} + 19 n + 6}{10 n^{2} + 19 n + 7} < 1$

Suy ra $u_{n + 1} < u_{n}, \forall n \in ℕ *$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Cách khác:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 (n + 1) + 1}{5 (n + 1) + 2} - \frac{2 n + 1}{5 n + 2} = \frac{2 n + 3}{5 n + 7} - \frac{2 n + 1}{5 n + 2} = \frac{(2 n + 3) (5 n + 2) - (2 n + 1) (5 n + 7)}{(5 n + 7) (5 n + 2)} = \frac{(10 n^{2} + 15 n + 4 n + 6) - (10 n^{2} + 5 n + 14 n + 7)}{(5 n + 7) (5 n + 2)} = \frac{- 1}{(5 n + 7) (5 n + 2)} < 0, \forall n \in ℕ *$