Dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn

Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video Giải Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) u_n = 2n² – 1

b) $u_n=\frac{1}{n(n+2)}$

c) $u_n=\frac{1}{2n^2-1}$

d) u_n = sin n + cos n

Lời giải:

a) Ta có $n\ge 1$ suy ra $n^2\ge 1$ suy ra $2n^2\ge 2$

Suy ra $2n^2-1\ge 1$

Suy ra $u_n\ge 1,\forall n\in \mathbb{N}*$

Do đó (u_n) bị chặn dưới bởi 1

Ngoài ra (u_n) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để $2n^2-1<M,\forall n\in \mathbb{N}*$.

b) Dễ thấy $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$

Mặt khác, vì: $\begin{array}{l}n\ge 1\Rightarrow n^2\ge 1\\ 2n\ge 2\end{array}$

$\Rightarrow n(n+2)=n^2+2n\ge 1+2=3\Rightarrow \frac{1}{n(n+2)}\le \frac{1}{3}\Rightarrow u_n\le \frac{1}{3},\forall n\in \mathbb{N}*$

$\Rightarrow 0<u_n\le \frac{1}{3}$với mọi  $n\in \mathbb{N}*$.

Vậy dãy số bị chặn.

c) Dễ thấy $u_n=\frac{1}{2n^2-1}>0$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Suy ra $0<\frac{1}{2n^2-1}\le 1,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy $0<u_n\le 1,\forall n\in \mathbb{N}*$ tức dãy số bị chặn.

d) Ta có: 

$\sin n+\cos n=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin n+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos n\right)=\sqrt{2}\left(\sin n\cos \frac{\pi }{4}+\cos n\sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(n+\frac{\pi }{4}\right)$

Vì $-1\le \sin \left(n+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$

Suy ra $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(n+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$

Suy ra $-\sqrt{2}\le \sin n+\cos n\le \sqrt{2},\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy $-\sqrt{2}\le u_n\le \sqrt{2}\forall n\in \mathbb{N}*$, tức là dãy số là dãy số bị chặn.