Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video Giải Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 2 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số:

u₁ = – 1, u_n+1 = u_n + 3 với $n\ge 1$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4

Lời giải:

a) u₁ = – 1

u₂ = u₁ + 3 = – 1 + 3 = 2

u₃ = u₂ + 3 = 2 + 3 = 5

u₄ = u₃ + 3 = 5 + 3 = 8

u₅ = u₄ + 3 = 8 + 3 = 11

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: u₁ = – 1, u₂ = 2, u₃ = 5, u₄  = 8, u₅ = 11.

b) Chứng minh u_n = 3n – 4 (*) bằng phương pháp quy nạp:

Do u₁ = – 1 = 3.1 – 4 nên (*) đúng với n = 1

Giả sử (*) đúng với $n=k,k\ge 1$, tức là chứng minh u_k+1 = 3(k + 1) – 4

Thật vậy, từ giả thiết u_n+1 = u_n + 3, suy ra:

u_k+1 = u_k + 3 = 3k – 4 + 3 = (3k + 3) – 4 = 3(k + 1) – 4

Hay u_k+1 = 3(k + 1) – 4

Do đó (*) đúng với n = k + 1

Vậy hệ thức đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$.