Dự đoán công thức số hạng tổng quát

Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video Giải Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số:

$u_1=3,u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2},n\ge 1$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a) Ta có:

$u_2=\sqrt{1+u_1^2}=\sqrt{1+3^2}=\sqrt{10}{u}_3=\sqrt{1+u_2^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{10}\right)}^2}=\sqrt{11}{u}_4=\sqrt{1+u_3^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{11}\right)}^2}=\sqrt{12}{u}_5=\sqrt{1+u_4^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{12}\right)}^2}=\sqrt{13}$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là:

u₁ = 3, $u_2=\sqrt{10}$, $u_3=\sqrt{11}$, $u_4=\sqrt{12}$, $u_5=\sqrt{13}$

b) Ta có:

$u_1=3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8}{u}_2=\sqrt{10}=\sqrt{2+8}{u}_3=\sqrt{11}=\sqrt{3+8}{u}_4=\sqrt{12}=\sqrt{4+8}{u}_5=\sqrt{13}=\sqrt{5+8}$

Từ trên ta dự đoán $u_n=\sqrt{n+8}$, với $n\in \mathbb{N}*\left(1\right)$

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

Giả sử (1) đúng với $n=k\ge 1$, tức là có $u_k=\sqrt{k+8}$ với $k\ge 1$, ta cần chứng minh 

$u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}$

Theo công thức dãy số, ta có: 

$u_{k+1}=\sqrt{1+u_k^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{k+8}\right)}^2}$

$=\sqrt{1+k+8}=\sqrt{(k+1)+8}$

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.