Chứng minh các bất đẳng thức sau

Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số

Video Giải Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số

Hoạt động 6 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số:

$\frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2}$ và $\frac{n^2+1}{2n}\ge 1,\forall n\in \mathbb{N}*$.

Lời giải:

Ta có:

 $\frac{n}{n^2+1}-\frac{1}{2}=\frac{2n-\left(n^2+1\right)}{2\left(n^2+1\right)}=\frac{-n^2+2n-1}{2\left(n^2+1\right)}=\frac{-\left(n^2-2n+1\right)}{2\left(n^2+1\right)}=\frac{-{(n-1)}^2}{2\left(n^2+1\right)}\le 0;\forall n\in \mathbb{N}*$

Vì 2(n² + 1) > 0 và $-{(n-1)}^2\le 0,\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy $\frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2};\forall n\in \mathbb{N}*$

Lại có: $\frac{n^2+1}{2n}-1=\frac{n^2+1-2n}{2n}$ 

$=\frac{{(n-1)}^2}{2n}\ge 0;\forall n\in \mathbb{N}*$

Vì 2n > 0 và ${(n-1)}^2\ge 0,\forall n\in N^{*}$

Vậy $\frac{n^2+1}{2n}\ge 1,\forall n\in \mathbb{N}*$