Toán 7 Bài 13 (Kết nối tri thức): Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Giải bài tập Toán 7 Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Video giải bài tập Toán 7 Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Giải Toán 7 trang 63 Tập 1

Mở đầu trang 63 Toán 7 Tập 1:

Ta nói hai đoạn thẳng bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, hai góc bằng nhau nếu chúng có cùng số đo góc. Vậy hai tam giác như thế nào thì được gọi là bằng nhau và làm thế nào để kiểm tra được hai tam giác đó bằng nhau? Trong bài này chúng ta sẽ trả lời câu hỏi đó.

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hai tam giác ABC và $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau, nghĩa là:

$\begin{array}{l}AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}},AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}},BC=B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\\ \widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}},\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}},\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.\end{array}$

Khi đó ta viết $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.$

Vậy để kiểm tra xem hai tam giác có bằng nhau không ta sẽ kiểm tra các cạnh tương ứng và các góc tương ứng của hai tam giác đó có bằng nhau hay không.

HĐ 1 trang 63 Toán 7 Tập 1: Gấp đôi một tờ giấy rồi cắt như Hình 4.9.

Phần được cắt ra là hai tam giác “chồng khít” lên nhau.

Theo em:

- Các cạnh tương ứng có bằng nhau không?

- Các góc tương ứng có bằng nhau không?

Lời giải:

Sau khi cắt ghép ta thấy:

- Các cạnh tương ứng của hai tam giác có độ dài bằng nhau nên bằng nhau.

- Các góc tương ứng của hai tam giác có số đo bằng nhau nên bằng nhau.

Giải Toán 7 trang 64 Tập 1

Câu hỏi trang 64 Toán 7 Tập 1: Biết hai tam giác trong Hình 4.11 bằng nhau, em hãy chỉ ra các cặp cạnh tương ứng, các cặp góc tương ứng và viết đúng kí hiệu bằng nhau của cặp tam giác đó.

Lời giải:

Hai tam giác DEF và GHK (Hình 4.11) bằng nhau nên ta có:

- Các cặp cạnh tương ứng bằng nhau: DE = GH, EF = HK, DF = GK.

- Các cặp góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{D}=\widehat{G},\widehat{E}=\widehat{H},\widehat{F}=\widehat{K}.$

Khi đó ta viết $\Delta D\text{EF}=\Delta GHK.$

Giải Toán 7 trang 65 Tập 1

Luyện tập 1 trang 65 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.13). Biết rằng BC = 4 cm, $\widehat{ABC}=40°,$ $\widehat{ACB}=60°.$Hãy tính độ dài đoạn thẳng EF và số đo góc EDF.

Lời giải:

GT	$\Delta ABC=\Delta DEF$; BC = 4 cm, $\widehat{ABC}=40°;$ $\widehat{ACB}=60°.$
KL	Tính EF và số đo góc EDF.

Chứng minh (Hình vẽ trên):

Xét tam giác ABC có $\widehat{ABC}=40°,\widehat{ACB}=60°,$áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}$

$\widehat{BAC}=180°-40°-60°=80°.$

Vậy $\widehat{BAC}=80°.$

Theo giả thiết ta có $\Delta ABC=\Delta DEF.$

Suy ra BC = EF (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{BAC}=\widehat{EDF}$(hai góc tương ứng).

Mà BC = 4 cm (theo giả thiết) và $\widehat{BAC}=80°$(chứng minh trên).

Do đó EF = 4 cm, $\widehat{EDF}=80°.$

Vậy EF = 4 cm, $\widehat{EDF}=80°.$

HĐ 2 trang 65 Toán 7 Tập 1: Vẽ tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 4 cm, BC = 6 cm theo các bước sau:

- Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm và cung tròn tâm C bán kính 4 cm sao cho hai cung tròn cắt nhau tại điểm A (H.4.14).

- Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC.

Lời giải:

Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm ta được hình vẽ sau:

Bước 2. Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm và cung tròn tâm C bán kính 4 cm sao cho hai cung tròn cắt nhau tại điểm A, ta được hình vẽ như sau:

Bước 3. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC như hình vẽ sau:

Giải Toán 7 trang 66 Tập 1

HĐ 3 trang 66 Toán 7 Tập 1: Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có A'B' = 5 cm, A'C' = 4 cm, B'C' = 6 cm.

- Dùng thước đo góc kiểm tra xem các góc tương ứng của hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không.

- Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Lời giải:

Vẽ tam giác A'B'C' tương tự như tam giác ABC ta được hình vẽ dưới đây.

- Dùng thước đo góc ta được kết quả $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}},\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}},\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.$

- Hai tam giác ABC và A'B'C' có:

AB = A'B' (= 5 cm), BC = B'C' (= 6 cm), CA = C'A' (= 4 cm);

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}},\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}},\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$.

Vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau.

Do đó $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.$

Câu hỏi trang 66 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.15, những cặp tam giác nào bằng nhau?

Lời giải:

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

AB = MN, BC = NP, CA = PM.

Do đó ΔABC = ΔMNP (c – c – c).

Xét tam giác DEF và tam giác GHK có:

DE = GH, EF = HK, FD = KG.

Do đó ΔDEF = ΔGHK (c – c – c).

Vậy trong hình vẽ đã cho, ta có hai cặp tam giác bằng nhau là: tam giác ABC và tam giác MNP, tam giác DEF và tam giác GHK.

Luyện tập 2 trang 66 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 4.17, biết AB = AD, BC = DC.

Chứng minh rằng $\Delta ABC=\Delta A\text{D}C.$

Lời giải:

GT	$\Delta ABC,\Delta ADC;$ AB = AD, BC = DC.
KL	$\Delta ABC=\Delta A\text{D}C.$

Chứng minh (hình vẽ trên):

Hai tam giác ABC và ADC có:

AB = AD (theo giả thiết);

BC = DC (theo giả thiết);

AC là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABC=\Delta A\text{D}C(c.c.c).$

Giải Toán 7 trang 67 Tập 1

Vận dụng trang 67 Toán 7 Tập 1: Người ta dùng compa và thước thẳng để vẽ tia phân giác của góc xOy như sau:

(1) Vẽ đường tròn tâm O cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B.

(2) Vẽ đường tròn tâm A bán kính AO và đường tròn tâm B bán kính BO. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm M khác điểm O.

(3) Vẽ tia Oz đi qua M.

Em hãy giải thích vì sao tia OM là tia phân giác của góc xOy.

Lời giải:

GT	Đường tròn (O) cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B; Đường tròn (A; AO) và đường tròn (B; BO) cắt nhau tại M; Tia Oz đi qua M.
KL	Tia Oz là tia phân giác của góc xOy.

Chứng minh (hình vẽ trên):

Nối BM và AM.

Vì đường tròn (O) cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B (theo giả thiết) nên ta có OA = OB.

Đường tròn (A; AO) và đường tròn (B; BO) cắt nhau tại M nên AM = AO và BM = BO.

Mà OA = OB (chứng minh trên).

Do đó AM = BM.

Hai tam giác OAM và OBM có:

OA = OB (chứng minh trên);

AM = BM (chứng minh trên);

OM là cạnh chung.

Vậy $\Delta OAM=\Delta OBM\left(c.c.c\right).$

Suy ra $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$(hai góc tương ứng).

Do đó tia Oz là tia phân giác của góc xOy.

Bài 4.4 trang 67 Toán 7 Tập 1: Cho hai tam giác ABC và DEF như Hình 4.18.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

(1) $\Delta ABC=\Delta DEF;$

(2) $\Delta ACB=\Delta EDF;$

(3) $\Delta BAC=\Delta DFE;$

(4) $\Delta CAB=\Delta DEF.$

Lời giải:

GT	$\Delta ABC,\Delta D\text{EF;}$ AB = EF, BC = FD, CA = DE.
KL	Viết kí hiệu của hai tam giác bằng nhau.

Chứng minh (hình vẽ trên):

Hai tam giác ABC và DEF có:

AB = EF (theo giả thiết);

BC = FD (theo giả thiết);

CA = DE (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta \text{EFD}\left(c.c.c\right).$

Suy ra $\widehat{A}=\widehat{E},\widehat{B}=\widehat{F},\widehat{C}=\widehat{D}$(các cặp góc tương ứng).

Tức là đỉnh A tương ứng với đỉnh E, đỉnh B tương ứng với đỉnh F, đỉnh C tương ứng với đỉnh D.

Do đó trong các khẳng định (1), (2), (3) và (4) thì khẳng định đúng là khẳng định (2) và khẳng định 4.

Bài 4.5 trang 67 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.19, hãy chỉ ra hai cặp tam giác bằng nhau.

Lời giải:

Trong Hình 4.19, hai cặp tam giác bằng nhau là :

$\Delta ABC=\Delta CDA$

Giải thích:

AB = CD (do ABCD là hình chữ nhật)

BC = DA (do ABCD là hình chữ nhật)

AC chung

$\Delta ABD=\Delta CDB$

Giải thích:

AB = CD (do ABCD là hình chữ nhật)

AD = CB (do ABCD là hình chữ nhật)

BD chung

Bài 4.6 trang 67 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 4.20, biết AB = CB, AD = CD, $\widehat{DAB}=90°,$

$\widehat{B\text{D}C}=30°.$

a) Chứng minh rằng $\Delta AB\text{D}=\Delta CB\text{D}.$

b) Tính $\widehat{ABC}.$

Lời giải:

GT	$\Delta ABD,\Delta CBD;$ AB = CB, AD = CD, $\widehat{DAB}=90°,\widehat{BDC}=30°.$
KL	a) $\Delta ABD=\Delta CBD.$ b) Tính $\widehat{ABC}.$

a) Chứng minh (hình vẽ trên):

Hai tam giác ABD và CBD có:

AB = CB (theo giả thiết);

AD = CD (theo giả thiết);

BD là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABD=\Delta CBD(c.c.c).$

b) Vì $\Delta ABD=\Delta CBD$(chứng minh câu a)

Nên $\widehat{BDA}=\widehat{BDC}$(hai góc tương ứng) và $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$(hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{BDC}=30°$ (theo giả thiết), do đó $\widehat{BDA}=30°.$

Trong tam giác ABD có $\widehat{DAB}=90°$nên là tam giác vuông tại A, khi đó hai góc nhọn của tam giác ABD phụ nhau.

Do đó $\widehat{ABD}+\widehat{BDA}=90°.$

Suy ra $\widehat{ABD}=90°-\widehat{BDA}$

$\widehat{ABD}=90°-30°$

$\widehat{ABD}=60°$

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}$.

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$(chứng minh trên), do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{ABD}.$

Hay $\widehat{ABC}=2\widehat{ABD}=2.60°=120°.$

Vậy $\widehat{ABC}=120°.$

Lý thuyết Toán 7 Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác - Kết nối tri thức

1. Hai tam giác bằng nhau

• Hai tam giác ABC và A'B'C'bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau, nghĩa là:

AB=A'B'; AC=A'C'; BC=B'C' và $\hat{A}=\widehat{A\text{'}}$; $\hat{B}=\widehat{B\text{'}}$; $\hat{C}=\widehat{C\text{'}}$.

• Khi kí hiệu hai tam giác bằng nhau thì thứ tự các đỉnh tương ứng phải được viết theo cùng 1 thứ tự.

Ở đây hai đỉnh A và A' (B và B', C và C') là hai đỉnh tương ứng;

Hai góc A và A' (B và B', C và C') là hai góc tương ứng;

Hai cạnh AB và A'B' (AC và A'C', BC và B'C') là hai cạnh tương ứng.

Khi đó ta kí hiệu: $\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$

Ví dụ:

+ Cho hai tam giác trong hình dưới đây, ta thấy:

$\hat{A}=\hat{H}=50°$; $\hat{B}=\hat{D}=23°$; $\hat{C}=\hat{E}=107°$(các góc tương ứng)

AB = DH = 5 cm; BC = DE = 4cm; AC = EH = 2cm (các cạnh tương ứng)

Do đó hai tam giác trên bằng nhau. Kí hiệu theo thứ tự tương ứng là: $\Delta ABC=\Delta HDE$

2. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

• Cách vẽ tam giác khi biết số đo ba cạnh.

Chẳng hạn: Vẽ tam giác ABC biết AB = 2 cm; AC = 3 cm; BC = 4 cm.

+ Dùng thước kẻ có vạch chia vẽ đoạn BC = 4 cm (hoặc có thể vẽ AB hoặc AC trước)

+ Dùng compa mở khẩu độ 2 cm, tâm tại điểm B, vẽ 1 cung tròn; mở compa khẩu độ 3 cm, tâm tại điểm C, vẽ một cung tròn. Giao điểm của 2 cung tròn là điểm A.

+ Vẽ các đoạn thẳng AB; AC ta được tam giác ABC.

• Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ:

+ Cho tam giác ABC và tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ trong hình dưới đây:

Ta có: AB = $A\text{'}B\text{'}$; AC = A'C'; BC = B'C'

Khi đó: $\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$

Chú ý:

• Cách vẽ tia phân giác của một góc dựa và thước kẻ và compa.

Vẽ tia phân giác của góc xOy ta làm như sau:

1) Vẽ đường tròn tâm O cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B.

2) Vẽ đường tròn tâm A bán kính AO và đường tròn tâm B bán kính BO. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm M khác điểm O.

3) Vẽ tia Oz đi qua M. Tia Oz là tia phân giác của góc xOy.