Toán 7 Bài 7 (Kết nối tri thức): Tập hợp các số thực

Giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tập hợp các số thực

Video giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tập hợp các số thực

1. Khái niệm số thực và trục số thực

Giải Toán 7 trang 33 Tập 1

Luyện tập 1 trang 33 Toán 7 Tập 1:

a) Cách viết nào sau đây là đúng: $\sqrt{2}\in \mathbb{Q};\pi \in \mathrm{𝕀};15\in ℝ.$

b) Viết số đối của các số: 5,08(299); $-\sqrt{5}.$

Lời giải:

a)

+) Ta có $\sqrt{2}\approx 1,41421356237$… là số vô tỉ nên $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$

Vậy cách viết $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$là cách viết sai.

+) Ta có $\pi \approx 3,141592655359$… là số vô tỉ nên $\pi \in \mathrm{𝕀}$.

Vậy cách viết $\pi \in \mathrm{𝕀}$là cách viết đúng.

+) Ta có số 15 là số hữu tỉ nên $15\in ℝ.$

Vậy cách viết $15\in ℝ$là cách viết đúng.

b) Số đối của số 5,08(299) là –5,08(299).

Số đối của số $-\sqrt{5}$là $-\left(-\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}.$

Giải Toán 7 trang 34 Tập 1

Câu hỏi trang 34 Toán 7 Tập 1: Điểm nào trong Hình 2.4 biểu diễn số $-\sqrt{2}?$Em có nhận xét gì về điểm biểu diễn của hai số đối nhau?

Lời giải:

Quan sát Hình 2.4 ta thấy số $-\sqrt{2}$được biểu diễn bởi điểm N.

Nhận xét:

Số đối của số $-\sqrt{2}$là số $\sqrt{2}$, số $\sqrt{2}$được biểu diễn bởi điểm M.

Điểm M và điểm N là hai điểm cách đều gốc O một khoảng bằng $\sqrt{2}$

Do vậy điểm biểu diễn của hai số đối nhau cách đều gốc O.

Luyện tập 2 trang 34 Toán 7 Tập 1: Cho biết nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng 1 và 3 thì cạnh huyền của tam giác bằng $\sqrt{10}.$Em hãy vẽ điểm biểu diễn số $-\sqrt{10}$trên trục số.

Lời giải:

Vẽ hình chữ nhật OABC có 2 cạnh bằng 3 và 1 như hình vẽ dưới đây.

Theo bài, cạnh huyền OB của tam giác vuông OBC (có hai cạnh góc vuông là 3 và 1) có độ dài là $\sqrt{10}$tức là OB = $\sqrt{10}$

Trên cạnh OC vẽ trục số với gốc là điểm O có độ dài đơn vị là OC = 1.

Ta vẽ đường tròn tâm O (O là gốc trục số), bán kính OB cắt tia Ox tại điểm D.

Khi đó OD = OB = $\sqrt{10}$

Ở bên trái gốc O lấy điểm E sao cho OE = OD = $\sqrt{10}$

Do đó điểm E là điểm biểu diễn số -$\sqrt{10}$

2. Thứ tự trong tập hợp các số thực

Giải Toán 7 trang 35 Tập 1

Luyện tập 3 trang 35 Toán 7 Tập 1: So sánh:

a) 1,313233… và 1,(32);

b) $\sqrt{5}$và 2,36 (có thể dùng máy tính cầm tay để tính $\sqrt{5}$).

Lời giải:

a) Ta có: 1,(32) là dạng viết rút gọn của số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 32.

Do đó 1,(32) = 1,323232…

Vì 1,313233… < 1,323232… nên 1,313233… < 1,(32).

Vậy 1,313233… < 1,(32).

b) Sử dụng máy tính cầm tay tính $\sqrt{5}$ta được kết quả hiện trên màn hình là 2,236067977.

Áp dụng quy tắc làm tròn để làm tròn kết quả với độ chính xác 0,0005 được $\sqrt{5}\approx 2,236.$

Vì 2,236 < 2,36 nên $\sqrt{5}<2,36.$

Vậy $\sqrt{5}<2,36.$

3. Giá trị tuyệt đối của một số thực

HĐ 1 trang 35 Toán 7 Tập 1: Biểu diễn các số 3 và –2 trên trục số rồi cho biết mỗi điểm ấy nằm cách gốc O bao nhiêu đơn vị.

Lời giải:

Các số 3 và –2 được biểu diễn lần lượt bởi điểm A và điểm B trên trục số như hình dưới đây:

Điểm A nằm sau gốc O (nằm bên phải gốc O) và cách gốc O một khoảng bằng 3 đơn vị.

Điểm B nằm bên trước gốc O (nằm bên trái gốc O) và cách gốc O một khoảng bằng 2 đơn vị.

HĐ 2 trang 35 Toán 7 Tập 1:Không vẽ hình, hãy cho biết khoảng cách của mỗi điểm sau đến gốc O: –4; –1; 0; 1; 4.

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm –4 đến gốc O là 4 đơn vị.

Khoảng cách từ điểm –1 đến gốc O là 1 đơn vị.

Khoảng cách từ điểm 0 đến gốc O là 0 đơn vị.

Khoảng cách từ điểm 1 đến gốc O là 1 đơn vị.

Khoảng cách từ điểm 4 đến gốc O là 4 đơn vị.

Câu hỏi trang 35 Toán 7 Tập 1: Từ HĐ1 và HĐ2, hãy tìm giá trị tuyệt đối của các số: 3; –2; 0; 4 và –4.

Lời giải:

Giá trị tuyệt đối của 3 là khoảng cách từ điểm 3 đến gốc O, do đó |3| = 3.

Giá trị tuyệt đối của –2 là khoảng cách từ điểm –2 đến gốc O, do đó |–2| = 2.

Giá trị tuyệt đối của 0 là khoảng cách từ điểm 0 đến gốc O, do đó |0| = 0.

Giá trị tuyệt đối của 4 là khoảng cách từ điểm 4 đến gốc O, do đó |4| = 4.

Giá trị tuyệt đối của –4 là khoảng cách từ điểm –4 đến gốc O, do đó |–4| = 4.

Giải Toán 7 trang 36 Tập 1

Câu hỏi trang 36 Toán 7 Tập 1: Minh viết |–2,5| = –2,5 đúng hay sai?

Lời giải:

Vì –2,5 < 0 nên |–2,5| = –(–2,5) = 2,5.

Vậy Minh viết |–2,5| = –2,5 là sai.

Luyện tập 4 trang 36 Toán 7 Tập 1: Tính:

a) |–2,3|;b) $\left.\frac{7}{5}\right|;$

c) |–11|; d) $\left.-\sqrt{8}\right|.$

Lời giải:

a) Ta có: –2,3 < 0 suy ra |–2,3| = –(–2,3) = 2,3.

Vậy |–2,3| = 2,3.

b) Ta có: $\frac{7}{5}>0$suy ra $\left.\frac{7}{5}\right|=\frac{7}{5}.$

Vậy $\left.\frac{7}{5}\right|=\frac{7}{5}.$

c) Ta có: –11 < 0 suy ra |–11| = –(–11) = 11.

Vậy |–11| = 11.

d) Ta có: $-\sqrt{8}$< 0 suy ra $\left.-\sqrt{8}\right|=-\left(-\sqrt{8}\right)=\sqrt{8}.$

Vậy $\left.-\sqrt{8}\right|=\sqrt{8}.$

Thử thách nhỏ trang 36 Toán 7 Tập 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp $A=\left.x|x\in \mathbb{Z},\left.x\right|<5\right\}.$

Lời giải:

Vì |x| < 5, mà |x| ≥ 0 nên 0 ≤ |x| < 5.

Suy ra |x| $\in${0; 1; 2; 3; 4}.

Lại có $x\in \mathbb{Z}$.

Suy ra x $\in${–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}.

Do đó A = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}.

Vậy A = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}.

Bài tập

Bài 2.13 trang 36 Toán 7 Tập 1: Xét tập hợp A = {7,1; –2,(61); 0; 5,14; $\frac{4}{7};\sqrt{15};-\sqrt{81}$}. Bằng cách liệt kê các phần tử, hãy viết tập hợp B gồm các số hữu tỉ thuộc tập A và tập hợp C gồm các số vô tỉ thuộc tập A.

Lời giải:

+) Số 7,1 viết được dưới dạng phân số: $7,1=\frac{71}{10}$nên là số hữu tỉ.

+) Số –2,(61) viết dưới dạng rút gọn của số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 61 nên –2,(61) là số hữu tỉ.

+) Số 0 là số hữu tỉ.

+) Số 5,14 viết được dưới dạng phân số: $5,14=\frac{514}{100}=\frac{257}{50}$nên là số hữu tỉ.

+) Số $\frac{4}{7}$viết dưới dạng phân số nên là số hữu tỉ.

+) Sử dụng máy tính cầm tay ta được kết quả của $\sqrt{15}$hiện trên màn hình máy tính là 3,872983346 hay $\sqrt{15}=3,872983346$ nên $\sqrt{15}$là số vô tỉ.

+) Ta có 81 = 9² và 9 > 0 nên $\sqrt{81}=9,$suy ra $-\sqrt{81}=-9,$là số hữu tỉ.

Khi đó các số hữu tỉ thuộc tập A là: 7,1; –2,(61); 0; 5,14; $\sqrt{81}=9,$

Các số vô tỉ thuộc tập A là: $\sqrt{15}$

Vậy B = {7,1; –2,(61); 0; 5,14; $\frac{4}{7};-\sqrt{81}$} và $C=\left.\sqrt{15}\right\}.$

Bài 2.14 trang 36 Toán 7 Tập 1: Gọi A' là tập hợp các số đối của các số thuộc tập hợp A trong Bài tập 2.13. Liệt kê các phần tử của A'.

Lời giải:

Tập hợp A = {7,1; –2,(61); 0; 5,14; $\frac{4}{7};\sqrt{15};-\sqrt{81}$}.

Số đối của 7,1 là –7,1.

Số đối của –2,(61) là (2,61.)

Số đối của 0 là 0.

Số đối của 5,14 là –5,14.

Số đối của $\frac{4}{7}$là $-\frac{4}{7}$

Số đối của $\sqrt{15}$là $-\sqrt{15}$

Số đối của $-\sqrt{81}$là $\sqrt{81}$

Vậy tập hợp các số đối của các số thuộc tập hợp A là:

$A^{\text{'}}=\left.-7,1;2,\left(61\right);0;-5,14;-\frac{4}{7};-\sqrt{15};\sqrt{81}\right\}.$

Bài 2.15 trang 36 Toán 7 Tập 1: Các điểm A, B, C, D trong hình sau biểu diễn những số thực nào?

Lời giải:

a) Quan sát hình ta thấy đoạn thẳng đơn vị (từ gốc O đến số 1) được chia thành 10 đoạn bằng nhau, mỗi đoạn đó lại được chia thành 2 đoạn bằng nhau, như vậy đoạn thẳng đơn vị được chia thành 20 đoạn đơn vị mới có độ dài bằng nhau và bằng $\frac{1}{20}$độ dài đoạn thẳng đơn vị cũ.

Điểm A nằm bên phải gốc O (nằm sau gốc O) và cách O một khoảng bằng 13 đoạn đơn vị mới nên điểm A chỉ số $\frac{13}{20}$.

Điểm B hai nằm ở bên phải gốc O (nằm sau gốc O) và cách O một khoảng bằng 19 đoạn đơn vị mới nên điểm B chỉ số $\frac{19}{20}$.

b) Ta có 4,7 – 4,6 = 0,1.

Trên hình ta thấy đoạn thẳng từ 4,6 đến 4,7 (có độ dài 0,1) được chia thành 10 đoạn bằng nhau, ta sẽ chia mỗi đoạn đó thành 2 đoạn bằng nhau, khi đó đoạn thẳng từ 4,6 đến 4,7 đã được chia thành 20 phần bằng nhau, mỗi đoạn bằng $\frac{0,1}{20}=0,005.$

Điểm C nằm ở bên phải điểm 4,6 (nằm sau điểm 4,6) và cách điểm 4,6 một khoảng bằng 3 đoạn 0,005 nên điểm C chỉ số 4,6 + 3.0,005 = 4,615.

Điểm D nằm ở bên phải điểm 4,6 (nằm sau điểm 4,6) và cách điểm 4,6 một khoảng bằng 10 đoạn 0,005 nên điểm D chỉ số 4,6 + 10.0,005 = 4,65.

Bài 2.16 trang 36 Toán 7 Tập 1: Tính:

a) |–3,5|;b) $\left.\frac{-4}{9}\right|;$

c) |0|;d) |2,0(3)|.

Lời giải:

a) Vì –3,5 < 0 nên |–3,5| = –(–3,5) = 3,5.

Vậy |–3,5| = 3,5.

b) Vì $\frac{-4}{9}<0$nên $\left.\frac{-4}{9}\right|=-\left(-\frac{4}{9}\right)=\frac{4}{9}.$

Vậy $\left.\frac{-4}{9}\right|=\frac{4}{9}.$

c) Vì giá trị tuyệt đối của số 0 bằng chính nó nên |0| = 0.

Vậy |0| = 0.

d) Do 2,0(3) > 0 nên |2,0(3)| = 2,0(3).

Vậy |2,0(3)| = 2,0(3).

Bài 2.17 trang 36 Toán 7 Tập 1: Xác định dấu và giá trị tuyệt đối của các số sau:

a) a = 1,25;

b) b = –4,1;

c) c = –1,414213562…

Lời giải:

a) Vì a = 1,25 > 0 nên dấu của a là dấu dương. Do đó |a| = |1,25| = 1,25.

Vậy |a| = 1,25.

b) Vì b = –4,1 < 0 nên dấu của b là dấu âm. Do đó |b| = |–4,1| = –(–4,1) = 4,1.

Vậy |b| = 4,1.

c) Vì c = –1,414213562… < 0 nên dấu của c là dấu âm.

Do đó |c| = |–1,414213562…| = –(–1,414213562…) = 1,414213562…

Vậy |c| = 1,414213562…

Bài 2.18 trang 36 Toán 7 Tập 1: Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn điều kiện |x| = 2,5.

Lời giải:

+) Nếu x ≥ 0 thì |x| = x.

Mà theo bài ta có |x| = 2,5 nên x = 2,5.

+) Nếu x < 0 thì |x| = –x.

Mà theo bài ta có |x| = 2,5 nên –x = 2,5 suy ra x = –2,5.

Vậy x = –2,5 hoặc x = 2,5.

Lý thuyết Toán 7 Bài 7. Tập hợp các số thực - Kết nối tri thức

1. Khái niệm số thực và trục số thực

• Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

Tập hợp số thực được kí hiệu là $\mathrm{ℝ}$.

Ví dụ:

+ Số $0,6=\frac{3}{5}$là một số hữu tỉ nên cũng là một số thực.

+ Số $-2=\frac{-2}{1}$ là một số hữu tỉ nên cũng là một số thực.

Chú ý:

• Cũng như số hữu tỉ, mỗi số thực a đều có một số đối kí hiệu là – a.

Ví dụ: Số đối của $\sqrt{2}$ là $-\sqrt{2}$; số đối của $-\frac{3}{5}$ là $\frac{3}{5}$.

• Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

• Vì mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực nên các số thực lấp đầy trục số. Người ta cũng gọi trục số là trục số thực.

• Trong tập hợp số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức $-\sqrt{2}+\frac{9}{4}+\sqrt{2}-\frac{5}{4}$ ta làm như sau:

$-\sqrt{2}+\frac{9}{4}+\sqrt{2}-\frac{5}{4}$

$=-\sqrt{2}+\sqrt{2}+\frac{9}{4}-\frac{5}{4}$(Tính chất giao hoán)

$=\left(-\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)+\left(\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\right)$(Tính chất kết hợp)

$=0+\frac{4}{4}$ (Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0)

$=0+1=1$ (Cộng với số 0)

2. Thứ tự trong tập hợp các số thực

• Các số thực đều được viết dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn). Vì thế có thể so sánh hai số thực bằng cách viết dưới dạng số thập phân.

• Cũng như các số hữu tỉ, ta có

Với hai số thực a và b bất kì ta luôn có a = b hoặc a < b hoặc a > b.

Cho ba số thực a, b, c. Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu).

• Trên trục số thực, nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b. Các điểm nằm trước gốc O biểu diễn các số âm, các điểm nằm sau gốc O biểu diễn các số dương.

• x là số âm, ta viết: x < 0; x là số dương, ta viết: x > 0.

Ví dụ:

+ So sánh $\sqrt{3}$và $-\sqrt{5}$ta làm như sau: Vì $\sqrt{3}>0$và $-\sqrt{5}<0$nên $\sqrt{3}>-\sqrt{5}$.

+ Ta có $1<\sqrt{3}<2$nên điểm biểu diễn của $\sqrt{3}$trên trục số nằm giữa hai điểm A và B.

Chú ý:

• Nếu 0 < a < b thì $\sqrt{\mathrm{a}}<\sqrt{\mathrm{b}}$.

Ví dụ: 0 < 3 < 5 thì $\sqrt{3}<\sqrt{5}$.

3. Giá trị tuyệt đối của một số thực

• Với số thực a tùy ý, ta có khoảng cách từ điểm a trên trục số đến gốc O là giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là $\left.\mathrm{a}\right|$.

•Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

• Giá trị tuyệt đối của 0 là 0.

• Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó.

• Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó.

$\left.\mathrm{a}\right|=\begin{array}{l}\mathrm{a}\mathrm{khi}\mathrm{a}>0\\ -\mathrm{a}\mathrm{khi}\mathrm{a}<0\\ 0\mathrm{khi}\mathrm{a}=0\end{array}$

Ví dụ:

+ Số 1 và –1 là hai số đối nhau và có cùng giá trị tuyệt đối là 1

$\left.1\right|=\left.-1\right|=1$

+ Số $\frac{3}{4}>0$ nên $\left.\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$

+ Số $-\sqrt{3}<0$ nên $\left.-\sqrt{3}\right|=-\left(-\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}$