Toán 7 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 4 trang 87

Giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 4 trang 87

Giải Toán 7 trang 87 Tập 1

Bài 4.33 trang 87 Toán 7 Tập 1: Tính các số đo x, y trong các tam giác dưới đây (H.4.75).

Lời giải:

+)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ta có: x + (x + 10°) + (x + 20°) = 180°.

Suy ra x + x + 10° + x + 20° = 180°.

3.x + 30° = 180°.

3.x = 180° – 30°

3.x = 150°

x = 50°

Vậy x = 50°.

+)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ta có: y + 2y + 60° = 180°.

Suy ra 3.y + 60° = 180°

3.y = 120°

y = 40°

Vậy y = 40°.

Bài 4.34 trang 87 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.76, có AM = BM, AN = BN. Chứng minh rằng $\widehat{MAN}=\widehat{MBN}.$

Lời giải:

GT	AM = BM, AN = BN.
KL	$\widehat{MAN}=\widehat{MBN}.$

Xét tam giác AMN và tam giác BMN có:

AM = BM (theo giả thiết);

MN là cạnh chung;

AN = BN (theo giả thiết).

Vậy $\Delta AMN=\Delta BMN$(c.c.c).

Suy ra $\widehat{MAN}=\widehat{MBN}$(hai góc tương ứng).

Bài 4.35 trang 87 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.77, có AO = BO, $\widehat{OAM}=\widehat{OBN}.$Chứng minh rằng AM = BN.

Lời giải:

GT	AO = BO, $\widehat{OAM}=\widehat{OBN}.$
KL	AM = BN.

Xét tam giác OAM và tam giác OBN có:

$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}$ (theo giả thiết);

OA = OB (theo giả thiết);

$\widehat{MON}$ là góc chung.

Vậy $\Delta OAM=\Delta OBN$(g.c.g).

Suy ra AM = BN (hai cạnh tương ứng).

Bài 4.36 trang 87 Toán 7 Tập 1: Trong Hình 4.78, ta có AN = BM, $\widehat{BAN}=\widehat{ABM}.$Chứng minh rằng $\widehat{BAM}=\widehat{ABN}.$

Lời giải:

GT	AN = BM, $\widehat{BAN}=\widehat{ABM}.$
KL	$\widehat{BAM}=\widehat{ABN}.$

Xét tam giác ABN và tam giác BAM có:

AN = BM (theo giả thiết);

$\widehat{BAN}=\widehat{ABM}$ (theo giả thiết);

AB là cạnh chung.

Vậy $\Delta ABN=\Delta BAM$(c.g.c).

Suy ra $\widehat{ABN}=\widehat{BAM}$(hai góc tương ứng).

Bài 4.37 trang 87 Toán 7 Tập 1: Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MB = NB và góc AMB bằng góc ANB.

Lời giải:

GT	M, N thuộc đường trung trực của AB AM = AN
KL	MB = NB $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}$

M và N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của AB với AM = AN nên M và N có vị trí như hình vẽ trên.

Gọi O là giao điểm của AB và MN, d là đường trung trực của AB nên $d\perp AB$tại trung điểm O của AB.

Xét tam giác OAM (vuông tại O) và tam giác OAN (vuông tại O) có:

OA là cạnh chung;

AM = AN (theo giả thiết).

Vậy $\Delta OAM=\Delta OAN$(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}$(hai góc tương ứng).

Xét tam giác OBM (vuông tại O) và tam giác OBN (vuông tại O) có:

OB là cạnh chung;

OM = ON (chứng minh trên).

Vậy $\Delta OBM=\Delta OBN$(hai cạnh góc vuông).

Suy ra MB = NB (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{BMO}=\widehat{BNO}$(hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}$(chứng minh trên) và $\widehat{BMO}=\widehat{BNO}$(chứng minh trên) nên $\widehat{AMO}+\widehat{BMO}=\widehat{ANO}+\widehat{BNO}.$

Mà $\widehat{AMB}=\widehat{AMO}+\widehat{BMO}$và $\widehat{ANB}=\widehat{ANO}+\widehat{BNO}.$

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}.$

Bài 4.38 trang 87 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A}=120°.$Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $\Delta BAM=\Delta CAN;$

b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

Lời giải:

GT	$\Delta ABC$ cân tại A, $\widehat{A}=120°;$ $M,N\in BC;MA\perp AB,NA\perp AC.$
KL	a) $\Delta BAM=\Delta CAN;$ b) Tam giác ANB cân tại N, tam giác AMC cân tại M.

a) Tam giác ABC cân tại A (theo giả thiết) nên AB = AC và $\widehat{B}=\widehat{C}$.

$MA\perp AB$ tại A (theo giả thiết) nên $\widehat{BAM}=90°;$ $NA\perp AC$tại A (theo giả thiết) nên $\widehat{NAC}=90°;$

Xét tam giác BAM (vuông tại A) và tam giác CAN (vuông tại A) có:

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta BAM=\Delta CAN$(cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

b) Trong tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{B}+\widehat{C}=180°-\widehat{A}$.

Mà $\widehat{A}=120°$(theo giả thiết) và $\widehat{B}=\widehat{C}$(chứng minh trên).

Do đó $\widehat{B}+\widehat{B}=180°-120°$

$2\widehat{B}=60°$

$\widehat{B}=30°$

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{C}=30°.$(1)

Ta có: $\widehat{BAM}<\widehat{BAC}$(do 90° < 120°) nên tia AM nằm giữa hai tia AB và AC.

Do đó $\widehat{BAC}=\widehat{BAM}+\widehat{MAC}$.

Suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAM}=120°-90°=30°$.

Vậy $\widehat{MAC}=30°.$(2)

Tương tự ta cũng có $\widehat{BAC}=\widehat{BAN}+\widehat{NAC}$.

Suy ra $\widehat{BAN}=\widehat{BAC}-\widehat{NAC}=120°-90°=30°.$

Vậy $\widehat{BAN}=30°$. (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{MAC}=\widehat{BAN}\left(=30°\right).$

Do đó tam giác ABN cân tại N (do $\widehat{B}=\widehat{BAN}$);

Và tam giác ACM cân tại M (do $\widehat{C}=\widehat{MAC}$).

Bài 4.39 trang 87 Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=60°.$Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\widehat{CAM}=30°.$Chứng minh rằng:

a) Tam giác CAM cân tại M;

b) Tam giác BAM là tam giác đều;

c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

GT	$\Delta ABC$ vuông tại A, $\widehat{B}=60°$; $M\in BC,$ $\widehat{CAM}=30°.$
KL	a) Tam giác CAM cân tại M; b) Tam giác BAM là tam giác đều; c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên hai góc nhọn phụ nhau, do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=90°.$

Suy ra $\widehat{C}=90°-\widehat{B}$

Mà $\widehat{B}=60°$nên $\widehat{C}=90°-60°=30°$

Xét tam giác CAM có $\widehat{CAM}=\widehat{C}=30°$nên tam giác CAM là tam giác cân tại M.

b) Ta có $\widehat{CAM}<\widehat{CAB}$(do 30° < 90°) nên tia AM nằm giữa hai tia AB và AC.

Khi đó $\widehat{CAB}=\widehat{CAM}+\widehat{MAB}$.

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{CAB}-\widehat{CAM}=90°-30°=60°$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác cho tam giác BAM có: $\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{AMB}=180°$.

Suy ra $\widehat{AMB}=180°-\widehat{B}-\widehat{MAB}.$

$\widehat{AMB}=180°-60°-60°=60°.$

Khi đó $\widehat{AMB}=\widehat{B}=\widehat{MAB}=60°$.

Suy ra tam giác BAM là tam giác đều.

c) Tam giác AMC cân tại M (chứng minh câu a) nên MA = MC (định nghĩa tam giác cân).

Tam giác BAM là tam giác đều (chứng minh câu b) nên MA = MB (định nghĩa tam giác đều).

Suy ra MB = MC (= MA).

Mà M nằm trên cạnh BC (theo giả thiết)

Do đó M là trung điểm của BC.

Lý thuyết Toán 7 Ôn tập chương 4 - Kết nối tri thức

1. Tổng các góc trong một tam giác

• Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

• Mỗi góc ngoài của một tam giác có số đo bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó.

• Phân loại tam giác dựa vào số đo góc:

+ Tam giác có ba góc đều nhọn được gọi là tam giác nhọn.

+ Tam giác có một góc tù được gọi là tam giác tù.

+ Tam giác có một góc vuông được gọi là tam giác vuông.

• Hai góc có tổng số đo bằng 90° được gọi là hai góc phụ nhau. Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

2. Hai tam giác bằng nhau

• Hai tam giác bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

3. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

• Trường hợp bằng nhau thứ nhất: cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

• Trường hợp bằng nhau thứ hai: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

• Trường hợp bằng nhau thứ ba: góc – cạnh – góc (g.c.g)

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

4. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

• Trường hợp: hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

• Trường hợp: cạnh góc vuông – góc nhọn kề

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

• Trường hợp: cạnh huyền – góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

• Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

5. Tam giác cân

• Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

• Tính chất:

+ Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+ Tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

• Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi đó ba góc cũng bằng nhau và bằng 60°.

+ Một tam giác có ba cạnh hoặc ba góc bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác đều.

+ Tam giác cân có 1 góc bằng 60° thì tam giác ấy là tam giác đều.

6. Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

• Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

• Đường trung trực của đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

• Đường trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.