Giải Toán 7 Bài 23 (Kết nối tri thức): Đại lượng tỉ lệ nghịch

Giải bài tập Toán 7 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 15 Tập 2

Mở đầu trang 15 Toán 7 Tập 2:

Bốn người thợ cùng làm sẽ xây xong một bức tường trong 9 ngày. Hỏi 6 người thợ cùng làm sẽ xây xong bức tường đó trong bao nhiêu ngày (biết năng suất lao động của mỗi người thợ là như nhau)?

Lời giải:

Học xong bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán này như sau:

Gọi số người thợ tham gia xây bức tường là x (người) và thời gian hoàn thành bức tường tương ứng là là y (ngày).

Vì số người thợ xây tường càng nhiều thì thời gian xây xong bức tường càng ít. Do đó, số người thợ xây tường và thời gian xây tường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Theo tính chất tỉ lệ nghịch ta có:

x₁.y₁= x₂.y₂

Thay x₁ = 4; x₂ = 6 và y₁ = 9 ta được:

4.9 = 6.y₂

y₂ = 36 : 6 = 6

Vậy thời gian để 6 người thợ cùng hoàn thành bức tường đó là 6 ngày.

HĐ 1 trang 15 Toán 7 Tập 2:

Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B trên quãng đường 180 km. Gọi t (h) là thời gian để ô tô đi từ A đến B với vận tốc v (km/h).

Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

Lời giải:

Quãng đường là 180 km.

+) Với vận tốc là 40 km/h thì thời gian vật đi hết quãng đường AB là:

180 : 40 = 4,5 (h)

+) Với vận tốc là 50 km/h thì thời gian vật đi hết quãng đường AB là:

180 : 50 = 3,6 (h)

+) Với vận tốc là 60 km/h thì thời gian vật đi hết quãng đường AB là:

180 : 60 = 3 (h)

+) Với vận tốc là 80 km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB là:

180 : 80 = 2,25 (h)

Ta có bảng sau:

HĐ 2 trang 15 Toán 7 Tập 2:

Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B trên quãng đường 180 km. Gọi t (h) là thời gian để ô tô đi từ A đến B với vận tốc v (km/h).

Viết công thức tính thời gian t theo vận tốc tương ứng v.

Lời giải:

Ta có s = v.t hay v.t = 180.

Do đó t = $\frac{180}{v}$.

Câu hỏi trang 15 Toán 7 Tập 2:

Trong HĐ2, thời gian t có tỉ lệ nghịch với vận tốc v không? Vận tốc v có tỉ lệ nghịch với thời gian t không?

Lời giải:

Ta thấy vận tốc và và thời gian t tỉ lệ nghịch với nhau do v = $\frac{s}{t}$ hay v = $\frac{180}{t}$

Do đó, thời gian t tỉ lệ nghịch với vận tốc v và vận tốc v cũng tỉ lệ nghịch với thời gian t.

Giải Toán 7 trang 16 Tập 2

Luyện tập 1 trang 16 Toán 7 Tập 2:

Chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 12cm² có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Lời giải:

Nếu hình chữ nhật có chiều dài là x (cm) và chiều rộng tương ứng là y (cm) thì diện tích hình chữ nhật là x.y (cm²)

Mà các hình chữ nhật có cùng diện tích 12 cm² nên x.y = 12 nên x = $\frac{12}{y}$

Khi đó x, y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ là 12.

Vậy chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 12 cm² là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 12.

Vận dụng 1 trang 16 Toán 7 Tập 2:

a) Một cửa hàng bán gạo cần đóng 300 kg gạo thành các túi gạo có khối lượng như nhau. Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

b) Số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Nếu lượng gạo mỗi túi là 5 kg thì số túi tương ứng là: 300 : 5 = 60 (túi).

Nếu lượng gạo mỗi túi là 10 kg thì số túi tương ứng là: 300 : 10 = 30 (túi).

Nếu số túi là 15 túi thì số gạo tương ứng mỗi túi là: 300 : 15 = 20 (kg).

Nếu số túi là 12 túi thì số gạo tương ứng mỗi túi là: 300 : 12 = 25 (kg).

Ta có bảng sau:

b) Gọi số gạo trong mỗi túi là x (kg) và số túi tương ứng là y (túi) ta có:

x.y = 300 nên y = $\frac{300}{x}$.

Do đó, số gạo trong mỗi túi và số túi gạo là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và hệ số tỉ lệ là 300.

Giải Toán 7 trang 17 Tập 2

Luyện tập 2 trang 17 Toán 7 Tập 2:

Một nhà thầu ước tính rằng có thể hoàn thành một hợp đồng xây dựng trong 12 tháng với 280 công nhân. Nếu được yêu cầu phải hoàn thành hợp đồng trong 10 tháng thì nhà thầu đó phải thuê bao nhiêu công nhân (biết năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau)?

Lời giải:

Gọi số tháng hoàn thành dự án là x (tháng) và số công nhân hoàn thành dự án tương ứng là y (công nhân). Vì số công nhân và thời gian hoàn thành dự án là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên: xy = a (a ≠ 0).

Với x = 12; y = 280 ta có: a = 12 . 280 = 3 360.

Do đó xy = 3 360 suy ra $x=\frac{3360}{y}$.

Với x = 10 suy ra $10=\frac{3360}{y}$ nên $y=\frac{3360}{10}=336$ (công nhân)

Vậy để hoàn thành dự án trong 10 tháng thì cần tới 336 công nhân.

Giải Toán 7 trang 18 Tập 2

Luyện tập 3 trang 18 Toán 7 Tập 2:

Bạn An mua tổng cộng 34 quyển vở gồm ba loại: loại 120 trang giá 12 nghìn đồng một quyển, loại 200 trang giá 18 nghìn đồng một quyển và loại 240 trang giá 20 nghìn đồng một quyển. Hỏi An mua bao nhiêu quyển vở mỗi loại, biết rằng số tiền bạn ấy dành để mua mỗi loại vở là như nhau?

Lời giải:

Gọi x, y, z lần lượt là số quyển vở loại 120 trang; loại 200 trang và 240 trang. Vì tổng số vở là 34 quyển nên ta có: x + y + z = 34.

Vì số tiền mà An dành để mua mỗi loại vở là như nhau và giá mỗi loại vở lần lượt là 12 nghìn đồng; 18 nghìn đồng; 20 nghìn đồng nên ta có:

x.12 = y.18 = z.20 hay $\frac{x}{\frac{1}{12}}=\frac{y}{\frac{1}{18}}=\frac{z}{\frac{1}{20}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{\frac{1}{12}}=\frac{y}{\frac{1}{18}}=\frac{z}{\frac{1}{20}}=\frac{x+y+z}{\frac{1}{12}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}}=\frac{34}{\frac{17}{90}}=180$

Suy ra: $\frac{x}{\frac{1}{12}}=180$ nên x = $180.\frac{1}{12}=15$ (quyển);

$\frac{y}{\frac{1}{18}}=180$ nên y = $180.\frac{1}{18}=10$ (quyển);

$\frac{z}{\frac{1}{20}}=180$ nên z = $180.\frac{1}{20}=9$ (quyển).

Vậy số vở loại 120 trang An đã mua là 15 quyển; số vở loại 200 trang An đã mua là 10 quyển; số vở 240 trang An đã mua là 9 quyển.

B. Bài tập

Bài 6.22 trang 18 Toán 7 Tập 2:

Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa đại lượng x và y.

Lời giải:

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0).

Với y = –6; x = 2 ta có: 2 = $\frac{a}{-6}$ nên a = 2. (–6) = –12.

Công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y là: $y=\frac{-12}{x}$.

+) Với x = 4 thì y = $\frac{-12}{4}=-3$;

+) Với x = 5 thì y = $\frac{-12}{5}$;

+) Với y = 3 thì x = $\frac{-12}{3}=-4$;

+) Với y = 10 thì x = $\frac{-12}{10}=\frac{-6}{5}$;

+) Với y = 0,5 thì x = $\frac{-12}{\mathrm{0,5}}=-24$.

Ta có bảng sau:

Bài 6.23 trang 18 Toán 7 Tập 2:

Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

Lời giải:

a) Ta có: 3.160 = 480; 6.80 = 480; 16.30 = 480; 24.20 = 480

Do đó, 3.160 = 6.80 = 16.30 = 24.20 = 480 nên ở bảng a hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

b) Ta có: 4.160 = 640; 8.80 = 640; 25.26 = 650; 32.20 = 640.

Vì 4.160 = 8.80 = 32.20 = 640 $\ne$650 = 25.26 nên ở bảng b hai đại lượng x và y không tỉ lệ nghịch với nhau.

Bài 6.24 trang 18 Toán 7 Tập 2:

Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a, x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ b. Hỏi y tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a nên y = $\frac{a}{x}$, vì x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ b nên x = $\frac{b}{z}$.

Ta có: y = $\frac{a}{x}=\frac{a}{\frac{b}{z}}=a:\frac{b}{z}=a.\frac{z}{b}=\frac{a}{b}.z$

Vậy y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là $\frac{a}{b}$.

Bài 6.25 trang 18 Toán 7 Tập 2:

Với cùng số tiền để mua 17 tập giấy A4 loại I có thể mua bao nhiêu tập giấy A4 loại II, biết rằng giá tiền giấy loại II chỉ bằng 85% giá tiền giấy loại I.

Lời giải:

Gọi số tiền mua một tập giấy là x và số tập giấy mua được là y. Vì số tiền mua một tập giấy và số tập giấy mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có: x₁.y₁ = x₂.y₂.

Suy ra, $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$.

Do giá tiền giấy loại II chỉ bằng 85% giá tiền giấy loại I nên:

x₂ = 85%x₁ = $\frac{17}{20}$x₁ suy ra $\frac{x_1}{x_2}=\frac{20}{17}$

Thay y₁ = 17 ta được $\frac{20}{17}=\frac{y_2}{17}$.

Do đó, y₂ = 20.

Vậy cùng với một số tiền bằng số tiền mua 17 tập giấy loại I ta có thể mua được 20 tập giấy loại II.

Bài 6.26 trang 18 Toán 7 Tập 2:

Ba đội máy cày làm trên ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy cày, biết rằng số máy của đội thứ nhất nhiều hơn số máy cày của đội thứ hai là 2 máy và năng suất các máy như nhau?

Lời giải:

Gọi x; y; z lần lượt là số máy cày của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba.

Vì số máy cày của đội thứ nhất nhiều hơn số máy cày của đội thứ hai là 2 máy nên x – y = 2.

Vì đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 6 ngày và đội thứ ba hoàn thành công việc trong 8 ngày nên 4.x = 6.y = 8.z

Hay $\frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{6}}=\frac{z}{\frac{1}{8}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ só bằng nhau ta có:

$\frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{6}}=\frac{z}{\frac{1}{8}}=\frac{x-y}{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}=\frac{2}{\frac{1}{12}}=24$

Khi đó, $\frac{x}{\frac{1}{4}}=24$ nên $x=24.\frac{1}{4}=6$;

$\frac{y}{\frac{1}{6}}=24$ nên $y=24.\frac{1}{6}=4$;

$\frac{z}{\frac{1}{8}}=24$ nên $z=24.\frac{1}{8}=3$.

Vậy đội thứ nhất có 6 máy cày, đội thứ hai có 4 máy cày, đội thứ ba có 3 máy cày.

Lý thuyết Toán 7 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch - Kết nối tri thức

1. Đại lượng tỉ lệ nghịch

• Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=\frac{a}{x}$(a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý:

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a và ta nói hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ: Nếu $y=\frac{3}{x}$ thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số 3, hay x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số 3.

Nhận xét:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:

• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):

• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

Ví dụ: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x	0,5	-1,2	4	6
y	3	-2	1,5

Hướng dẫn giải:

Gọi hệ số tỉ lệ của x và y là a, nghĩa là $y=\frac{a}{x}$ hay x . y = a.

Ta có x = 4 thì y = 1,5 nên suy ra a = x.y = 4 . 1,5 = 6.

Vậy x . y = 6.

Khi x = 0,5 thì y = 6 : 0,5 = 12

Khi x = -1,2 thì y = 6 : (-1,2) = -5

Khi y = 3 thì x = 6 : 3 = 2

Khi y = -2 thì x = 6 : (-2) = -3

Khi x = 6 thì y = 6 : 6 = 1

Vậy ta có bảng sau:

x	0,5	-1,2	2	-3	4	6
y	12	-5	3	-2	1,5	1

2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Để giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, ta cần nhận biết được hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.

Ví dụ:

Cho biết 35 công nhân xây một ngôi nhà hết 168 ngày. Hỏi 28 công nhân xây một ngôi nhà trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau)

Hướng dẫn giải:

Vì năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số công nhân và số ngày xây xong ngôi nhà là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi số công nhân là y (công nhân); số ngày xây xong ngôi nhà là x (ngày). (y $\in {\mathbb{N}}^{*}$; x > 0)

Ta có x . y = a

Khi y = 35 thì x = 168 nên ta có a = 35 . 168 = 5880.

Do đó x . y = 5880.

Vậy khi y = 28 thì x = 5880 : 28 =210.

Vậy 28 công nhân xây ngôi nhà đó hết 210 ngày.