Toán 7 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 3 trang 59

Giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 3 trang 59

Video giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 3 trang 59

Giải Toán 7 trang 59 Tập 1

Bài 3.32 trang 59 Toán 7 Tập 1: Chứng minh rằng: Cho điểm A và đường thẳng d thì có duy nhất đường thẳng đi qua A vuông góc với d, tức là nếu có hai đường thẳng đi qua A vuông góc với d thì chúng phải trùng nhau.

Lời giải:

GT	Hai đường thẳng a và b cùng đi qua A; $a\perp d$ tại B; $b\perp d$tại C;
KL	a ≡ b.

Chứng minh (Hình vẽ trên):

Theo giả thiết ta có $a\perp d$tại B nên $\widehat{ABd}=90°$; $b\perp d$tại C nên $\widehat{ACd}=90°.$

Do đó $\widehat{ABd}=\widehat{ACd}=90°.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên a // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Do hai đường thẳng a và b cùng đi qua A mà a // b nên hai đường thẳng này trùng nhau.

Vậy a ≡ b.

Bài 3.33 trang 59 Toán 7 Tập 1: Vẽ ba đường thẳng phân biệt a, b, c sao cho a // b, b // c và hai đường thẳng phân biệt m, n cùng vuông góc với a. Hỏi trên hình có bao nhiêu cặp đường thẳng song song, có bao nhiêu cặp đường thẳng vuông góc?

Lời giải:

Trên hình vẽ trên có 4 cặp đường thẳng song song là: a // b; b // c; a // c; m // n.

Trên hình vẽ trên có 6 cặp đường thẳng vuông góc là: $m\perp a,$ $m\perp b,$ $m\perp c,$ $n\perp a,$ $n\perp b,$ $n\perp c.$

Bài 3.34 trang 59 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.50, trong đó hai tia Ax, By nằm trên hai đường thẳng song song. Chứng minh rằng $\widehat{C}=\widehat{A}+\widehat{B}.$

Lời giải:

GT	Ax và By nằm trên hai đường thẳng song song.
KL	$\widehat{ACB}=\widehat{xAC}+\widehat{CBy}.$

Chứng minh (Hình vẽ trên):

Theo giả thiết Ax và By nằm trên hai đường thẳng song song nên Ax // By.

Qua C vẽ đường thẳng zt song song với đường thẳng chứa tia Ax.

Khi đó zt // By (hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Từ zt // Ax ta có $\widehat{xAC}=\widehat{ACz}$(hai góc so le trong).

Từ zt // By ta có $\widehat{zCB}=\widehat{CBy}$(hai góc so le trong).

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ACz}+\widehat{zCB}=\widehat{xAC}+\widehat{CBy}.$(điều phải chứng minh)

Vậy $\widehat{ACB}=\widehat{xAC}+\widehat{CBy}.$

Bài 3.35 trang 59 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.51, trong đó Ox và Ox' là hai tia đối nhau.

a) Tính tổng số đo ba góc O₁, O₂, O₃.

Gợi ý: $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=\left(\widehat{O_1}+\widehat{O_2}\right)+\widehat{O_3},$ trong đó $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}=\widehat{x^{\text{'}}Oy}.$

$\widehat{x^{\text{'}}Oy},\widehat{yOx}$ là hai góc kề bù.

b) Cho $\widehat{O_1}=60°,\widehat{O_3}=70°.$Tính $\widehat{O_2}.$

Lời giải:

GT	Tia Ox và tia $O{x}^{\text{'}}$là hai tia đối nhau; $\widehat{O_1}=60°,\widehat{O_3}=70°.$
KL	a) Tính $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}.$ b) Tính $\widehat{O_2}.$

Chứng minh (Hình vẽ trên):

a) Theo giả thiết ta có Ox và $O{x}^{\text{'}}$là hai tia đối nhau nên $\widehat{x^{\text{'}}Oy},\widehat{yOx}$là hai góc kề bù.

Suy ra $\widehat{x^{\text{'}}Oy}+\widehat{yOx}=180°$(tính chất hai góc kề bù).

Hay $\widehat{x^{\text{'}}Oy}+\widehat{O_3}=180°.$

Trong hình vẽ trên, tia Oz nằm giữa hai tia $O{x}^{\text{'}}$và tia Oy nên $\widehat{x^{\text{'}}Oy}=\widehat{x^{\text{'}}\text{Oz}}+\widehat{zOy}$hay $\widehat{x^{\text{'}}Oy}=\widehat{O_1}+\widehat{O_2}.$

Do đó từ $\widehat{x^{\text{'}}Oy}+\widehat{O_3}=180°$suy ra $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=180°.$

Vậy $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=180°.$

b) Theo câu a ta có $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=180°.$

Suy ra $\widehat{O_2}=180°-\widehat{O_1}-\widehat{O_3}.$

Mà $\widehat{O_1}=60°,\widehat{O_3}=70°.$

Do đó $\widehat{O_2}=180°-60°-70°.$

$\widehat{O_2}=120°-70°$

$\widehat{O_2}=50°.$

Vậy $\widehat{O_2}=50°.$

Bài 3.36 trang 59 Toán 7 Tập 1: Cho Hình 3.52, biết $\widehat{xOy}=120°,\widehat{y\text{O}z}=110°.$Tính số đo góc zOx.

(Gợi ý: Kẻ thêm tia đối của tia Oy).

Lời giải:

GT	$\widehat{xOy}=120°,\widehat{yOz}=110°;$
KL	Tính $\widehat{zOx.}$

Chứng minh (Hình vẽ trên):

Kẻ tia Oy' là tia đối của tia Oy.

+) Góc y'Ox và góc xOy là hai góc kề bù nên $\widehat{y^{\text{'}}Ox}+\widehat{xOy}=180°$(tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{y^{\text{'}}Ox}=180°-\widehat{xOy}$

$\widehat{y^{\text{'}}Ox}=180°-120°$

$\widehat{y^{\text{'}}Ox}=60°$

+) Góc yOz và góc zOy' là hai góc kề bù nên $\widehat{yOz}+\widehat{zO{y}^{\text{'}}}=180°$(tính chất hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{zO{y}^{\text{'}}}=180°-\widehat{yOz}$

$\widehat{zO{y}^{\text{'}}}=180°-110°$

$\widehat{zO{y}^{\text{'}}}=70°$

+) Tia Oy' nằm giữa hai tia Ox và Oz nên $\widehat{zOx}=\widehat{zO{y}^{\text{'}}}+\widehat{y^{\text{'}}\text{Ox}}.$

Mà $\widehat{zO{y}^{\text{'}}}=70°$và $\widehat{y^{\text{'}}Ox}=60°.$

Suy ra $\widehat{zOx}=70°+60°$

$\widehat{zOx}=130°.$

Vậy $\widehat{zOx}=130°.$

Lý thuyết Toán 7 Ôn tập chương 3 - Kết nối tri thức

1. Góc ở vị trí đặc biệt

a) Hai góc kề bù

• Định nghĩa: Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù.

• Tính chất: Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180°.

+ Góc $\widehat{\mathrm{xOy}}$ và $\widehat{\mathrm{yOz}}$ có cạnh Oy chung; Ox và Oz là hai tia đối nhau. Do đó $\widehat{\mathrm{xOy}}$ và $\widehat{\mathrm{yOz}}$ được gọi là hai góc kề bù.

+ Vì $\widehat{\mathrm{xOy}}$ và $\widehat{\mathrm{yOz}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{\mathrm{xOy}}+\widehat{\mathrm{yOz}}=180°$.

• Hai góc kề bù được hiểu là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau. Trong đó:

Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm khác phía nhau đối với đường thẳng chứa cạnh chung đó.

• Nếu điểm M nằm trong góc xOy thì ta nói tia OM nằm giữa hai cạnh (hai tia) Ox và Oy của góc xOy. Khi đó ta có: $\widehat{\mathrm{xOM}}+\widehat{\mathrm{MOy}}=\widehat{\mathrm{xOy}}$

b) Hai góc đối đỉnh

• Định nghĩa: Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

• Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Ví dụ:

+ Hai đường thẳng $\mathrm{xx}\text{'}$, $\mathrm{yy}\text{'}$ cắt nhau tại O. Khi đó $\text{Ox}$ và $\text{Ox}\text{'}$ là hai tia đối nhau; $\text{Oy}$ và $\text{Oy}\text{'}$ là hai tia đối nhau. Nên ta có các cặp góc đối đỉnh là: $\widehat{\mathrm{xOy}}$ và $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$; $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ và $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}}$.

+ Có $\widehat{\mathrm{xOy}}$ và $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$ là hai góc đối thì $\widehat{\mathrm{xOy}}=\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$.

• Hai đường thẳng $\mathrm{xx}\text{'}$, $\mathrm{yy}\text{'}$ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc. Kí hiệu là: $\mathrm{xx}\text{'}\perp \mathrm{yy}\text{'}$.

Ví dụ: Hai đường thẳng $\mathrm{xx}\text{'}$, $\mathrm{yy}\text{'}$ cắt nhau tại O sao cho $\widehat{\mathrm{xOy}}=90°$ thì $\mathrm{xx}\text{'}\perp \mathrm{yy}\text{'}$.

2. Tia phân giác của một góc

• Định nghĩa: Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó.

• Tính chất: Khi Oz là tia phân giác của góc xOy thì $\widehat{\mathrm{xOz}}=\widehat{\mathrm{yOz}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{xOy}}$.

• Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó.

Ví dụ:

+ Cho $\widehat{\mathrm{xOy}}=80°$và Oz là tia phân giác của góc xOy. Khi đó ta có:

$\widehat{\mathrm{xOz}}=\widehat{\mathrm{yOz}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{xOy}}=\frac{1}{2}80°=40°$

3. Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

• Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B tạo thành bốn góc đỉnh A và bốn góc đỉnh B. Khi đó ta có:

+ Các cặp góc so le trong là: A₃ và B₁; A₄ và B₂.

+ Các cặp góc đồng vị là: A₁ và B₁; A₂ và B₂; A₃ và B₃; A₄ và B₄.

+ Các cặp góc trong cùng phía là: A₄ và B₁; A₃ và B₂.

• Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:

+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau.

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

Ví dụ:

+ Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b lần lượt tại A và B.

Nói rõ $\widehat{{\mathrm{A}}_4};\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ là cặp góc so le trong

Nếu $\widehat{{\mathrm{A}}_4}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ thì $\begin{array}{l}\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}\\ \widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_1};\widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{{\mathrm{B}}_2};\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\widehat{{\mathrm{B}}_3};\widehat{{\mathrm{A}}_4}=\widehat{{\mathrm{B}}_4}\end{array}$ (cặp góc so le trong còn lại và các cặp góc đồng vị).

4. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

• Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a và b song song với nhau. Kí hiệu là: $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$.

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

5. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

• Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

• Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.

6. Tính chất của hai đường thẳng song song

• Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

Ví dụ: Cho $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$ và $\widehat{\mathrm{BAy}}=50°$. Tính $\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}$ và $\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}$

Vì $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}=\widehat{\mathrm{BAy}}$(hai góc so le trong). Do đó $\widehat{\mathrm{ABx}\text{'}}=50°$

Vì $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}=\widehat{\mathrm{BAy}}$(hai góc đồng vị). Do đó $\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{Bz}\text{'}}=50°$

• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Ví dụ: Cho $\mathrm{xy}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}\text{'}$ và $\mathrm{zz}\text{'}\perp \mathrm{xx}\text{'}$ thì $\mathrm{zz}\text{'}\perp \mathrm{yy}\text{'}$

• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Ví dụ: Cho $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ và $\mathrm{c}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{b}$ thì $\mathrm{a}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}c}$

7. Định lí. Giả thiết và kết luận của định lí

• Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng:

Nếu … thì …

+ Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí.

+ Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí.

Giả tiết, kết luận viết tắt tương ứng là GT và KL.

• Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận của định lí.