Giải Toán 7 Bài 21 (Kết nối tri thức): Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Giải bài tập Toán 7 Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 8 Tập 2

Mở đầu trang 8 Toán 7 Tập 2:

Để xây dựng một số phòng học cho một ngôi trường ở bản vùng khó khăn, người ta cần số tiền là 450 triệu đồng. Ba nhà từ thiện đã đóng góp số tiền đó theo tỉ lệ 3 : 5 : 7. Hỏi mỗi nhà từ thiện đã đóng góp bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Sau bài học này các em có thể giải quyết bài toán như sau:

Gọi x, y, z (triệu đồng) lần lượt là số tiền nhà từ thiện thứ nhất, thứ hai và thứ ba đã đóng góp.

Vì x; y; z tỉ lệ với 3 : 5 : 7 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$

Mặt khác tổng số tiền đóng góp được là 450 triệu đồng nên x + y + z = 450 (triệu đồng).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=\frac{x+y+z}{3+5+7}=\frac{450}{15}=30$

Ta có: $\frac{x}{3}=30$ nên x = 30 . 3 = 90 (triệu đồng);

$\frac{y}{5}=30$ nên y = 30 . 5 = 150 (triệu đồng);

$\frac{z}{7}=30$ nên z = 30 . 7 = 210 (triệu đồng).

Vậy số tiền đóng góp của nhà từ thiện thứ nhất, thứ hai và thứ ba lượt là 90 triệu đồng; 150 triệu đồng; 210 triệu đồng.

HĐ 1 trang 8 Toán 7 Tập 2:

Cho tỉ lệ thức $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$. Tính các tỉ số $\frac{2+6}{3+9}$ và $\frac{2-6}{3-9}$.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{2+6}{3+9}=\frac{8}{12}$;

$\frac{2-6}{3-9}=\frac{-4}{-6}$.

Vậy $\frac{2+6}{3+9}=\frac{8}{12}$ và $\frac{2-6}{3-9}=\frac{-4}{-6}$.

HĐ 2 trang 8 Toán 7 Tập 2:

So sánh hai tỉ số nhận được ở HĐ1 với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

Lời giải:

Ta có: $\frac{2+6}{3+9}=\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}$; $\frac{2-6}{3-9}=\frac{-4}{-6}=\frac{\left(-4\right):2}{\left(-6\right):2}=\frac{2}{3}$

Do đó, $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}=\frac{8}{12}=\frac{-4}{-6}$ (cùng bằng $\frac{2}{3}$).

Luyện tập trang 8 Toán 7 Tập 2:

Tìm hai số x và y, biết:$\frac{x}{11}=\frac{y}{17}$ và x – y = 12.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{11}=\frac{y}{17}=\frac{x-y}{11-17}=\frac{12}{-6}=-2$

Suy ra:

$\frac{x}{11}=-2$ nên x = 11 . (–2) = –22;

$\frac{y}{17}=-2$ nên y = 17 . (–2) = –34.

Vậy x = –22; y = –34.

Giải Toán 7 trang 9 Tập 2

Vận dụng trang 9 Toán 7 Tập 2:

Ba nhà đầu tư góp vốn để mở một công ty theo tỉ lệ 2 : 3 : 4. Cuối năm, số tiền lợi nhuận công ty dự kiến trả cho các nhà đầu tư là 72 triệu đồng, chia theo tỉ lệ góp vốn. Tính số tiền lợi nhuận mỗi nhà đầu tư nhận được.

Lời giải:

Gọi số tiền lợi nhuận mà mỗi nhà đầu tư nhận được lần lượt là x; y; z (triệu đồng).

Vì số tiền lợi nhận cả ba người nhận được là 72 triệu đồng nên x + y + z = 72 (triệu đồng).

Vì số tiền lợi nhuận được chia theo tỉ lệ góp vốn nên x; y; z tỉ lệ với 2; 3; 4.

Do đó, ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{72}{9}=8$

Suy ra, $\frac{x}{2}=8$ nên x = 8 . 2 = 16;

$\frac{y}{3}=8$ nên x = 8 . 3 = 24;

$\frac{z}{4}=8$ nên x = 8 . 4 = 32.

Vậy số tiền ba nhà đầu tư nhận được lần lượt là 16 triệu đồng; 24 triệu đồng; 32 triệu đồng.

B. Bài tập

Bài 6.7 trang 9 Toán 7 Tập 2:

Tìm hai số x và y, biết: $\frac{x}{9}=\frac{y}{11}$ và x + y = 40.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{x}{9}=\frac{y}{11}=\frac{x+y}{9+11}=\frac{40}{20}=2$

Suy ra, $\frac{x}{9}=2$ nên x = 9 . 2 = 18;

$\frac{y}{11}=2$ nên y = 11 . 2 = 22.

Vậy x = 18; y = 22.

Bài 6.8 trang 9 Toán 7 Tập 2:

Tìm hai số x và y, biết: $\frac{x}{17}=\frac{y}{21}$ và x – y = 8.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{x}{17}=\frac{y}{21}=\frac{x-y}{17-21}=\frac{8}{-4}=-2$

Suy ra, $\frac{x}{17}=-2$ nên x = 17 . (-2) = -34;

$\frac{y}{21}=-2$ nên y = 21 . (-2) = -42.

Vậy x = -34; y = -42.

Bài 6.9 trang 9 Toán 7 Tập 2:

Tỉ số sản phẩm làm được của hai công nhân là 0,95. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người này làm nhiều hơn người kia 10 sản phẩm?

Lời giải:

Gọi x; y (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm mỗi người làm được.

Vì tỉ số sản phẩm hai người làm được là 0,95 nên $\frac{x}{y}=\mathrm{0,95}$ (x < y)

Ta có $\frac{x}{y}=\mathrm{0,95}$ hay $\frac{x}{y}=\frac{19}{20}$.

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:

$\frac{x}{y}=\frac{19}{20}$ hay $\frac{x}{19}=\frac{y}{20}$

Mặt khác, hai người làm hơn kém nhau 10 sản phẩm nên y – x = 10 (vì x < y)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{19}=\frac{y}{20}=\frac{y-x}{20-19}=\frac{10}{1}=10$

Suy ra, $\frac{x}{19}=10$ nên x = 19 . 10 = 190;

$\frac{y}{20}=10$ nên y = 20 . 10 = 200.

Vậy số sản phẩm mỗi người làm được lần lượt là 190 sản phẩm và 200 sản phẩm.

Bài 6.10 trang 9 Toán 7 Tập 2:

Ba 7A, 7B và 7C được giao nhiệm vụ trồng 120 cây để phủ xanh đồi trọc. Tính số cây trồng được của mỗi lớp, biết số cây trồng được của ba 7A, 7B và 7C tỉ lệ với 7; 8; 9.

Lời giải:

Gọi x, y, z (cây) lần lượt là số cây ba 7A, 7B, 7C trồng được.

Vì cả ba lớp được giao trồng 120 cây nên x + y + z = 120.

Mặt khác, số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với 7; 8; 9 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{7}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{7}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}=\frac{x+y+z}{7+8+9}=\frac{120}{24}=5$

Suy ra, $\frac{x}{7}=5$ nên x = 7 . 5 = 35;

$\frac{y}{8}=5$ nên y = 8 . 5 = 40;

$\frac{z}{9}=5$ nên z = 9 . 5 = 45.

Vậy số cây ba 7A; 7B; 7C trồng được lần lượt là 35 cây; 40 cây; 45 cây.

Lý thuyết Toán 7 Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Kết nối tri thức

• Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Ví dụ 1: Cho $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ suy ra $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1+2}{2+4}=\frac{3}{6}$ và $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1-2}{2-4}=\frac{-1}{-2}$

Ví dụ 2: Tìm hai số x và y, biết $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$ và x + y = 21

Hướng dẫn giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{x+y}{2+5}=\frac{x+y}{7}=\frac{21}{7}=3$

Từ đây tính được: x = 3 . 2 = 6 và y = 3 . 5 = 15

Vậy x = 6; y = 15.

Mở rộng:

Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau, chẳng hạn:

• Từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ suy ra $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}$

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

• Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ , ta còn nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, f.

Khi đó ta cũng viết: a : c : e = b : d : f

Ví dụ 3:

Cho $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}$

Suy ra $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}=\frac{1+2+5}{2+4+10}=\frac{8}{16}$

và $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}=\frac{1-2+5}{2-4+10}=\frac{4}{8}$

Ví dụ 4: Tìm ba số x, y, z, biết $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$ và x + y + z = 450

Giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=\frac{x+y+z}{3+5+7}=\frac{x+y+z}{15}=\frac{450}{15}=30$

Từ đây tính được: x = 3 . 30 = 90; y = 5 . 30 = 150 và z = 7 . 30 = 210