Giải Toán 7 Bài 27 (Kết nối tri thức): Phép nhân đa thức một biến

Giải bài tập Toán 7 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 36 Tập 2

Mở đầu trang 36 Toán 7 Tập 2:

Anh Pi: Em hãy:

- Lấy tuổi của mình cộng với 1 rồi bình phương lên. Số nhận được gọi là kết quả thứ nhất.

- Lại lấy tuổi của mình trừ đi 1 rồi bình phương lên. Số nhận được gọi là kết quả thứ hai.

- Lấy kết quả thứ nhất trừ đi kết quả thứ hai và cho anh biết kết quả cuối cùng.

Anh sẽ đoán được tuổi của em.

Không biết anh Pi làm thế nào nhỉ? Học xong bài này em sẽ khám phá được bí mật đó.

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Giả sử kết quả cuối cùng là 24.

Gọi tuổi cần đoán là x tuổi (x ∈ ℕ*).

Lấy tuổi cộng 1 rồi bình phương lên ta được (x + 1)².

Ta có (x + 1)² = (x + 1) . (x + 1)

= x . (x + 1) + 1 . (x + 1)

= x . x + x . 1 + 1 . x + 1 . 1

= x² + 2x + 1

Lấy tuổi trừ 1 rồi bình phương lên ta được (x - 1)².

Ta có (x - 1)² = (x - 1) . (x - 1)

= x . (x - 1) - 1 . (x - 1)

= x . x + x . (-1) - x + 1

= x²- x - x + 1

= x²- 2x + 1

Lấy kết quả thứ nhất trừ đi kết quả thứ hai:

(x² + 2x + 1) - (x²- 2x + 1)

= x² + 2x + 1 - x²+ 2x - 1

= (x²- x²) + (2x + 2x) + (1 - 1)

= 4x

Ta thấy kết quả cuối cùng là 4x, gấp 4 lần tuổi cần đoán là x, nên anh Pi đã chia kết quả cuối cùng cho 4 để đoán được tuổi.

Vậy nếu kết quả cuối cùng là 24 thì tuổi cần đoán là 24 : 4 = 6.

HĐ 1 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Hãy nhắc lại cách nhân hai đơn thức và tính (12x³) . (-5x²).

Lời giải:

Để nhân hai đơn thức tùy ý, ta thực hiện nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau.

(12x³) . (-5x²) = [12 . (-5)] . (x³ . x²) = -60 . x³⁺² = -60x⁵.

HĐ 2 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, hãy tìm tích 2x . (3x²- 8x + 1) bằng cách nhân 2x với từng hạng tử của đa thức 3x²- 8x + 1 rồi cộng các tích tìm được.

Lời giải:

3x² - 8x + 1 = 3x² + (-8x) + 1.

Nhân 2x với 3x² ta được 2x . 3x² = (2 . 3) . (x . x²) = 6x³.

Nhân 2x với -8x ta được: 2x . (-8x) = [2 . (-8)] . (x . x) = -16x².

Nhân 2x với 1 ta được: 2x . 1 = 2x.

Cộng các tích ta được 6x³ + (-16x²) + 2x = 6x³- 16x² + 2x.

Luyện tập 1 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Tính (-2x²) . (3x - 4x³ + 7 - x²).

Lời giải:

(-2x²) . (3x - 4x³ + 7 - x²)

= (-2x²) . 3x + (-2x²) . (-4x³) + (-2x²) . 7 + (-2x²) . (-x²)

= -6x³ + 8x⁵ + (-14x²) + 2x⁴

= -6x³ + 8x⁵- 14x² + 2x⁴.

Giải Toán 7 trang 37 Tập 2

Vận dụng 1 trang 37 Toán 7 Tập 2:

a) Rút gọn biểu thức P(x) = 7x²(x²- 5x + 2) - 5x(x³- 7x² + 3x).

b) Tính giá trị của biểu thức P(x) khi x = $-\frac{1}{2}$.

Lời giải:

a) P(x) = 7x²(x² - 5x + 2) - 5x(x³- 7x² + 3x)

= 7x². x² + 7x². (-5x) + 7x². 2 + (-5x) . x³ + (-5x) . (-7x²) + (-5x) . 3x

= 7x⁴ + (-35x³) + 14x² + (-5x⁴) + 35x³ + (-15x²)

= (7x⁴- 5x⁴) + (- 35x³ + 35x³) + (14x²- 15x²)

= 2x⁴ + (-x²)

= 2x⁴- x²

Vậy P(x) = 2x⁴- x².

b) Thay x = $-\frac{1}{2}$ vào biểu thức P(x) = 2x⁴- x²ta được:

P$\left(-\frac{1}{2}\right)$ = 2 . ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^4$-${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2$ = 2 . $\frac{1}{16}$-$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{8}-\frac{2}{8}$= $-\frac{1}{8}$.

Vậy P(x) = $-\frac{1}{8}$ khi x = $-\frac{1}{2}$.

Thử thách nhỏ trang 37 Toán 7 Tập 2:

Rút gọn biểu thức x³(x + 2) - x(x³ + 2³) - 2x(x²- 2²).

Lời giải:

Ta có:

x³(x + 2) - x(x³ + 2³) - 2x(x²- 2²)

= (x³ . x + x³ . 2) – (x . x³ + x . 2³) – (2x . x² – 2x . 2²)

= (x⁴ + 2x³) – (x⁴ + 8x) – (2x³ – 8x)

= x⁴ + 2x³ – x⁴ – 8x – 2x³ + 8x

= (x⁴ – x⁴) + (2x³ – 2x³) + (– 8x + 8x)

= 0.

HĐ 3 trang 37 Toán 7 Tập 2:

Tính (2x - 3) . (x²- 5x + 1) bằng cách thực hiện các bước sau:

Bước 1. Nhân 2x với đa thức x²- 5x + 1.

Bước 2. Nhân -3 với đa thức x²- 5x + 1.

Bước 3. Cộng các đa thức thu được ở hai bước trên và thu gọn.

Kết quả thu được là tích của đa thức 2x - 3 với đa thức x²- 5x + 1.

Lời giải:

Bước 1: Nhân 2x với đa thức x²- 5x + 1 ta được:

2x . (x²- 5x + 1) = 2x . x² + 2x . (-5x) + 2x . 1 = 2x³- 10x² + 2x.

Bước 2: Nhân -3 với đa thức x²- 5x + 1 ta được:

-3 . (x²- 5x + 1) = -3 . x² + (-3) . (-5x) + (-3) . 1 = - 3x² + 15x - 3.

Bước 3: Cộng các đa thức thu được ở hai bước trên ta được:

(2x³- 10x² + 2x) + (- 3x² + 15x - 3)

= 2x³- 10x² + 2x - 3x² + 15x - 3

= 2x³ + (- 10x²- 3x²) + (2x + 15x) - 3

= 2x³ + (-13x²) + 17x - 3

= 2x³- 13x² + 17x - 3

Vậy (2x - 3) . (x²- 5x + 1) = 2x³- 13x² + 17x - 3.

Giải Toán 7 trang 38 Tập 2

Luyện tập 2 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Tính (x³- 2x² + x -1)(3x - 2). Trình bày lời giải theo hai cách.

Lời giải:

Cách 1. Đặt tính nhân:

Cách 2. Thực hiện tính theo quy tắc nhân hai đa thức tùy ý:

(x³- 2x² + x -1)(3x - 2)

= x³(3x - 2) + (-2x²)(3x - 2) + x(3x - 2) + (-1)(3x - 2)

= x³.3x + x³.(-2) + (-2x²).3x + (-2x²).(-2) + x.3x + x.(-2) + (-1).3x + (-1).(-2)

= 3x⁴ + (-2x³) + (-6x³) + 4x² + 3x² + (-2x) + (-3x) + 2

= 3x⁴ + (-8x³) + 7x² + (-5x) + 2

= 3x⁴- 8x³ + 7x²- 5x + 2

Vậy (x³- 2x² + x -1)(3x - 2) = 3x⁴- 8x³ + 7x²- 5x + 2.

Vận dụng 2 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Rút gọn biểu thức (x - 2)(2x³- x² + 1) + (x - 2)x²(1 - 2x).

Lời giải:

(x - 2)(2x³- x² + 1) + (x - 2)x²(1 - 2x)

= x(2x³ – x² + 1) – 2(2x³ – x² + 1) + (x . x² – 2 . x²)(x – 2x)

= x . 2x³ + x . (– x²) + x . 1 – 2 . 2x³ – 2 . (–x²) – 2 . 1 + (x³ – 2x²)(1 – 2x)

= 2x⁴ – x³ + x – 4x³ + 2x² – 2 + x³(1 – 2x) – 2x²(1 – 2x)

= 2x⁴ + (– x³ – 4x³) + 2x² + x – 2 + x³ . 1 – x³ . 2x – 2x² . 1 – 2x² . (–2x)

= 2x⁴ – 5x³ + 2x² + x – 2 + x³ – 2x⁴ – 2x² + 4x³

= (2x⁴- 2x⁴) + (– 5x³ + x³ + 4x³) + (2x² – 2x²) + x – 2

= x – 2

Vận dụng 3 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Trở lại bài toán đoán tuổi, để giải thích bí mật trong bài toán đoán tuổi của anh Pi, em hãy thực hiện các yêu cầu sau:

- Gọi x là tuổi cần đoán. Tìm hai đa thức (biến x) biểu thị kết quả thứ nhất và kết quả thứ hai.

- Tìm đa thức biểu thị kết quả cuối cùng.

Từ đó hãy nêu cách tìm x.

Lời giải:

Gọi tuổi cần đoán là x tuổi (x ∈ ℕ*).

Lấy tuổi cộng 1 rồi bình phương lên ta được (x + 1)².

Ta có (x + 1)² = (x + 1) . (x + 1)

= x . (x + 1) + 1 . (x + 1)

= x . x + x . 1 + 1 . x + 1 . 1

= x² + 2x + 1

Lấy tuổi trừ 1 rồi bình phương lên ta được (x - 1)².

Ta có (x - 1)² = (x - 1) . (x - 1)

= x . (x - 1) - 1 . (x - 1)

= x . x + x . (-1) - x + 1

= x²- x - x + 1

= x²- 2x + 1

Lấy kết quả thứ nhất trừ đi kết quả thứ hai:

(x² + 2x + 1) - (x²- 2x + 1)

= x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1

= (x²- x²) + (2x + 2x) + (1 - 1)

= 4x

Ta thấy kết quả cuối cùng là 4x, gấp 4 lần tuổi cần đoán là x, nên anh Pi đã chia kết quả cuối cùng cho 4 để đoán được tuổi.

B. Bài tập

Bài 7.23 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép nhân sau:

a) 6x² . (2x³- 3x² + 5x - 4);

b) (-1,2x²) . (2,5x⁴- 2x³ + x²- 1,5).

Lời giải:

a) 6x² . (2x³- 3x² + 5x - 4)

= 6x². 2x³ + 6x². (-3x²) + 6x². 5x + 6x². (-4)

= 12x⁵- 18x⁴ + 30x³- 24x²

b) (-1,2x²) . (2,5x⁴- 2x³ + x²- 1,5)

= (-1,2x²) . 2,5x⁴ + (-1,2x²) . (-2x³) + (-1,2x²) . x² + (-1,2x²) . (-1,5)

= -3x⁶ + 2,4x⁵- 1,2x⁴ + 1,8x²

Bài 7.24 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) 4x²(5x² + 3) - 6x(3x³- 2x + 1) - 5x³(2x - 1);

b) $\frac{3}{2}x\left(x^2-\frac{2}{3}x+2\right)-\frac{5}{3}{x}^2\left(x+\frac{6}{5}\right)$.

Lời giải:

a) 4x²(5x² + 3) - 6x(3x³- 2x + 1) - 5x³(2x - 1)

= (4x². 5x² + 4x². 3) – (6x . 3x³ – 6x . 2x + 6x . 1) – (5x³. 2x – 5x³)

= (20x⁴ + 12x²) – (18x⁴ – 12x² + 6x) – (10x⁴ – 5x³)

= 20x⁴ + 12x²- 18x⁴ + 12x²- 6x - 10x⁴ + 5x³

= (20x⁴- 18x⁴- 10x⁴) + 5x³ + (12x² + 12x²) - 6x

= – 8x⁴ + 5x³ + 24x²-6x

b) $\frac{3}{2}x\left(x^2-\frac{2}{3}x+2\right)-\frac{5}{3}{x}^2\left(x+\frac{6}{5}\right)$

=$\left(\frac{3}{2}x.x^2-\frac{3}{2}x.\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x.2\right)-\left(\frac{5}{3}{x}^2.x+\frac{5}{3}{x}^2.\frac{6}{5}\right)$

= $\left(\frac{3}{2}{x}^3-x^2+3x\right)-\left(\frac{5}{3}{x}^3+2x^2\right)$

= $\frac{3}{2}$x³- x² + 3x $-\frac{5}{3}$x³- 2x²

= $\left(\frac{3}{2}{x}^3-\frac{5}{3}{x}^3\right)$ + (-x²- 2x²) + 3x

= $\left(\frac{9}{6}{x}^3-\frac{10}{6}{x}^3\right)$ + (-3x²) + 3x

= $-\frac{1}{6}$x³- 3x² + 3x.

Bài 7.25 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép nhân sau:

a) (x²- x) . (2x²- x - 10);

b) (0,2x²- 3x) . 5(x²- 7x + 3).

Lời giải:

a) (x²- x) . (2x²- x - 10)

= x² . (2x²- x - 10) – x . (2x²- x - 10)

= (x² . 2x² – x² . x – x² . 10) – (x . 2x² – x . x – x . 10)

= (2x⁴ – x³ – 10x²) – (2x³ – x² – 10x)

= 2x⁴ – x³ – 10x² – 2x³ + x² + 10x

= 2x⁴ + (– x³ – 2x³) + (– 10x² + x²) + 10x

= 2x⁴ – 3x³ – 9x² + 10x.

b) (0,2x²- 3x) . 5(x²- 7x + 3)

= (0,2x² – 3x) . (5x² – 35x + 15)

= 0,2x² . (5x² – 35x + 15) – 3x . (5x² – 35x + 15)

= (0,2x² . 5x² – 0,2x² . 35x + 0,2x². 15) – (3x . 5x² – 3x . 35x + 3x . 15)

= (x⁴ – 7x³ + 3x²) – (15x³ – 105x² + 45x)

= x⁴ – 7x³ + 3x² – 15x³ + 105x² – 45x

= x⁴ + (– 7x³ – 15x³) + (3x² + 105x²) – 45x

= x⁴ – 22x³ + 108x³ – 45x.

Bài 7.26 trang 38 Toán 7 Tập 2:

a) Tính (x²- 2x + 5) . (x - 2).

b) Từ đó hãy suy ra kết quả của phép nhân (x²- 2x + 5) . (2 - x). Giải thích cách làm.

Lời giải:

a) (x²- 2x + 5) . (x - 2)

= x². (x - 2) + (-2x) . (x - 2) + 5 . (x - 2)

= (x³ – 2x²) + (– 2x² + 4x) + (5x – 10)

= x³- 2x²- 2x² + 4x + 5x -10

= x³ + (– 2x² – 2x²) + (4x + 5x) – 10

= x³- 4x² + 9x - 10

Vậy (x²- 2x + 5) . (x - 2) = x³- 4x² + 9x - 10.

b) Ta thấy 2 - x = - x + 2 = - (x - 2).

Do đó (x²- 2x + 5) . (2 - x) = (x²- 2x + 5). [-(x - 2)] = - (x²- 2x + 5) . (x - 2).

Vậy (x²- 2x + 5) . (2 - x) = -(x³- 4x² + 9x - 10) = -x³ + 4x²- 9x + 10.

Bài 7.27 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Giả sử ba kích thước của một hình hộp chữ nhật là x; x + 1; x - 1 (cm) với x > 1. Tìm đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: cm³) của hình hộp chữ nhật đó.

Lời giải:

Thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

x(x + 1)(x - 1) = (x . x + x . 1)(x - 1)

= (x² + x)(x - 1)

= x²(x - 1) + x(x - 1)

= (x². x – x². 1) + (x . x + x . 1)

= (x³- x²) + (x²- x)

= x³- x² + x²- x

= x³ + (– x² + x²) - x

= x³ – x.

Vậy đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: cm³) của hình hộp chữ nhật đó là x³- x.

Bài 7.28 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép nhân hai đa thức sau:

a) 5x³- 2x²+ 4x - 4 và x³ + 3x²- 5;

b) -2,5x⁴ + 0,5x² + 1 và 4x³- 2x + 6.

Lời giải:

a) (5x³- 2x² + 4x - 4) . (x³ + 3x²- 5)

= 5x³. (x³ + 3x²- 5) + (-2x²) . (x³ + 3x²- 5) + 4x . (x³ + 3x²- 5) + (-4) . (x³ + 3x²- 5)

= (5x³. x³ + 5x³. 3x² – 5x³. 5) + [(-2x²) . x³ + (-2x²) . 3x² – (2x²) . 5]

+ (4x . x³ + 4x . 3x² – 4x . 5) + [(-4) . x³ + (-4) . 3x² – (-4) . 5)

= (5x⁶ + 15x⁵- 25x³) + [-2x⁵- 6x⁴ + 10x²] + (4x⁴ + 12x³- 20x) + (-4x³- 12x² + 20)

= 5x⁶ + 15x⁵- 25x³- 2x⁵- 6x⁴ + 10x² + 4x⁴ + 12x³- 20x - 4x³- 12x² + 20

= 5x⁶ + (15x⁵- 2x⁵) + (-6x⁴ + 4x⁴) + (-25x³ + 12x³- 4x³) + (10x²- 12x²) - 20x + 20

= 5x⁶ + 13x⁵ + (-2x⁴) + (-17x³) + (-2x²) - 20x + 20

= 5x⁶ + 13x⁵- 2x⁴- 17x³- 2x²- 20x + 20

b) (-2,5x⁴ + 0,5x² + 1) . (4x³- 2x + 6)

= (-2,5x⁴) . (4x³- 2x + 6) + 0,5x². (4x³- 2x + 6) + 1 . (4x³- 2x + 6)

= [-2,5x⁴. 4x³ – (-2,5x⁴) . 2x + (-2,5x⁴) . 6] + (0,5x². 4x³ – 0,5x². 2x + 0,5x². 6) + (4x³- 2x + 6)

= (-10x⁷ + 5x⁵ – 15x⁴) + (2x⁵ – x³ + 3x²) + (4x³- 2x + 6)

= -10x⁷ + 5x⁵ – 15x⁴ + 2x⁵ – x³ + 3x² + 4x³ – 2x + 6

= -10x⁷ + (5x⁵ + 2x⁵) – 15x⁴ + (-x³ + 4x³) + 3x² – 2x + 6

= -10x⁷ + 7x⁵- 15x⁴ + 3x³ + 3x²- 2x + 6

Bài 7.29 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Người ta dùng những chiếc cọc để rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho mỗi góc vườn đều có một chiếc cọc và hai cọc liên tiếp cắm cách nhau 0,1 m. Biết rằng số cọc dùng để rào hết chiều dài của vườn nhiều hơn số cọc dùng để rào hết chiều rộng là 20 chiếc. Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là x. Tìm đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Vì số cọc để rào hết chiều rộng mảnh vườn là x nên số cọc dùng để rào hết chiều dài của mảnh vườn là x + 20 cọc.

Khoảng cách giữa hai cọc liên tiếp là 0,1 m.

Giữa x cọc có x - 1 khoảng cách nên chiều rộng mảnh vườn là: 0,1. (x - 1) m.

Giữa x + 20 cọc có x + 19 khoảng cách nên chiều dài mảnh vườn là: 0,1. (x + 19) m.

Khi đó diện tích của mảnh vườn là:

0,1 . (x - 1). 0,1 . (x + 19) = 0,1 . 0,1 . (x - 1) . (x + 19)

= 0,01 . [x . x + x . 19 + (-1) . x + (-1) . 19]

= 0,01 . (x² + 19x - x - 19)

= 0,01 . (x² + 18x - 19)

= 0,01 . x² + 0,01 . 18x + 0,01 . (-19)

= 0,01x² + 0,18x - 0,19 (m²).

Vậy đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn là 0,01x² + 0,18x - 0,19 (m²).

Lý thuyết Toán 7 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến - Kết nối tri thức

1. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức vời từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

Muốn tính $\left(-3x^2\right)\cdot \left(x^3-\frac{1}{3}x+4\right)$ ta làm như sau:

$\left(-3x^2\right)\cdot \left(x^3-\frac{1}{3}x+4\right)$ = $\left(-3x^2\right)\cdot \left(x^3\right)+\left(-3x^2\right)\cdot \left(-\frac{1}{3}x\right)+\left(-3x^2\right)\cdot 4$

= – 3x⁵ + x³ – 12x².

2. Nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

Muốn tính (x + 2).(3x² – 4x + 5) ta làm như sau:

(x + 2).(3x² – 4x + 5) = x.(3x² – 4x + 5) + 2.(3x² – 4x + 5)

= x.3x² + x.( – 4x) + x.5 + 2.3x² +2.( – 4x) + 2.5

= 3x³ – 4x² + 5x + 6x² – 8x + 10

= 3x³ + (– 4x² + 6x²) + (5x – 8x) + 10

= 3x³ + 2x² – 3x + 10.

Chú ý:

• Ta có thể trình bày phép nhân một đa thức với một đa thức bằng cách đặt tính.

Khi trình bày theo cách này ta cần:

+ Nhân lần lượt mỗi hạng tử ở dòng dưới với đa thức ở dòng trên và viết kết quả trong một dòng riêng.

+ Viết các dòng sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau (để thực hiện phép cộng theo cột).

+ Khi nhân các hạng tử ở dòng dưới với đa thức ở dòng trên, ta nên nhân các hạng tử theo thứ tự từ bậc thấp đến bậc cao.

Chẳng hạn: Đặt tính nhân (x + 3).(2x² – 3x – 5), ta làm như sau:

• Phép nhân đa thức cũng có các tính chất:

+ Giao hoán: A.B = B.A.

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C).

+ Phân phối đối với phép cộng: A.(B + C) = A.B + A.C.